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partant

$q=n{\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )}},$

ce qui donne, par le n^o 1, où l’on a vu que ${\frac {c}{a}}=q\sin \Theta ,$

${\frac {c}{a}}=n{\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )}}.\sin \Theta ,$

et l’équation (2) du même numéro devient

(3)

$d\theta =-{\frac {{\frac {2{\rm {K}}}{n^{2}}}d\rho {\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )}}.a\sin \Theta }{\left(1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right)r{\sqrt {1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )-\left[1+{\frac {4{\rm {K}}}{n^{2}}}(\rho )\right]{\cfrac {a^{2}}{r^{2}}}\sin ^{2}\Theta }}}}.$

Cette équation suppose que les forces réfractives des couches de l’atmosphère sont proportionnelles aux densités de ces couches ; c’est ce qui résulte des expériences de Hawksbee. Cependant il est possible que cela ne soit pas rigoureusement exact, et il serait utile de faire sur cet objet un plus grand nombre d’expériences. Mais, quel qu’en soit le résultat, on peut toujours employer l’équation précédente, en y supposant que $\rho$ représente la force réfractive de la couche de l’atmosphère dont le rayon est $r.$ Nous supposerons, dans la suite, que cette force est proportionnelle à la densité de la couche, ce qui s’éloigne très-peu de la vérité.

Intégration de l’équation différentielle du mouvement de la lumière.

4. Pour intégrer l’équation (3), il faudrait connaître $\rho$ en fonction de $r$, c’est-à-dire la loi suivant laquelle la densité des couches de l’atmosphère diminue à mesure que l’on s’élève au-dessus du niveau des mers. Les deux limites de cette loi sont une densité constante et une densité décroissante en progression géométrique quand la hauteur croît en progression arithmétique, ce qui, comme on le verra dans la suite, suppose une température uniforme dans toute l’atmosphère. Considérons donc les réfractions dans ces deux cas extrêmes.

La supposition d’une densité constante revient à ne faire varier $\rho$