Prenons maintenant cette intégrale d’une autre manière et supposons ce qui donne étant supposé constant dans la différentiation ; la double intégrale précédente deviendra donc
ou
Nommons l’intégrale prise depuis nul jusqu’à infini ; la double intégrale précédente devient Soit ce qui donne
on aura
partant,
l’expression de la réfraction à l’horizon est donc
expression que l’on peut encore mettre sous cette forme :
Pour avoir la valeur de lorsque l’astre est peu élevé sur l’horizon, supposons