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et

${\rm {G'}}=-a''^{2}{\frac {\partial {\rm {A_{1}^{'(1)}}}}{\partial a''}}+{\frac {2n''}{n'-n''}}a''{\rm {A}}_{1}^{'(1)},$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}=&-{\frac {m'n''{\rm {G'}}}{2(n'-n''-{\rm {N'')}}}}\cos(n't-n''t+\varepsilon '-\varepsilon ''),\\\delta v''=&{\frac {m'n''{\rm {G'}}}{n'-n''-{\rm {N''}}}}\sin(n't-n''t+\varepsilon '-\varepsilon '').\end{aligned}}$

Les valeurs de ${\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}$ et de $\delta v''$ peuvent recevoir encore quelques termes sensibles de l’action du quatrième satellite ; mais son moyen mouvement étant sensiblement plus petit que la moitié de celui du troisième satellite, ces termes doivent être peu considérables. Nous y aurons cependant égard dans la suite.

On peut observer ici que, $n$ différant très-peu de $2n',$ et $n'$ différant très-peu de $2n'',{\frac {a}{a'}}$ diffère très-peu de ${\frac {a'}{a''}}.$ En effet,

${\frac {a}{a'}}=\left({\frac {n'}{n}}\right)^{\frac {2}{3}}=\left[{\frac {n-(n-2n')}{2n}}\right]^{\frac {2}{3}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\left[1-\left({\frac {n-2n'}{n}}\right)\right]^{\frac {2}{3}}.$

Cette dernière quantité est à très-peu égale à $\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\left[1-{\frac {2(n-2n')}{3n}}\right].$ Pareillement on a

${\frac {a}{a''}}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\left(1-{\frac {2}{3}}{\frac {n'-2n'')}{n'}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}\left(1-{\frac {2}{3}}{\frac {n-2n')}{n'}}\right)\,;$

ainsi ${\frac {a}{a'}}$ et ${\frac {a'}{a''}}$ sont très-peu différents de $\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}$ or, ${\rm {A}}^{(0)},{\rm {A}}^{(1)},\ldots$ étant de la dimension $-1$ en $a$ et $a',\ {\rm {F}}$ et ${\rm {G}}$ sont de dimension nulle, ou fonctions de ${\frac {a}{a'}}\,;\ {\rm {F'}}$ et ${\rm {G'}}$ sont des fonctions semblables de ${\frac {a'}{a''}}\,;$ on a donc, à fort peu près, ${\rm {F'=F}}$ et ${\rm {G'=G.}}$ Mais, pour plus d’exactitude, nous aurons égard aux différences de ces quantités.

5. Considérons la loi des inégalités précédentes dans les éclipses de satellites. Pour cela, nous donnerons aux valeurs précédentes de $\delta v,$