J’observerai ici que l’analyse par laquelle je viens d’intégrer l’équation (3) s’applique aux équations générales du mouvement des fluides, et que c’est ainsi que j’ai déterminé, dans le Livre IV, les oscillations d’un fluide qui recouvre une sphère immobile et qui est attiré par un astre en mouvement.
Les valeurs de sont déterminées par l’état initial de la chaleur de la sphère. Je vais donner, pour cet objet, une méthode simple et qui peut s’étendre à beaucoup d’autres cas.
Je suppose que l’état initial de la chaleur soit exprimé par la fonction
étant une fonction rationnelle et entière de et assujettie à la même équation aux différences partielles que c’est-à-dire telle que l’on ait
les coefficients arbitraires de étant ici des fonctions de Soient un de ces coefficients et on aura, par ce qui précède,
En supposant nul dans l’expression de , il est facile de voir que l’on aura
étant les valeurs de correspondantes aux diverses racines de l’équation (4) ; sont les arbitraires qui multiplient ces valeurs et qu’il s’agit de déterminer. Pour cela, on multipliera l’équation précédente par et l’on prendra l’intégrale depuis nul jusqu’à ce qui donne