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Maintenant on a

$\int q^{'(0)}q^{'(1)}dr=0.$

Pour le faire voir, nous observerons que l’on a, $q^{'(0)}$ et $q^{'(1)}$ étant nuls avec $r,$

$\int \left({\frac {q^{'(0)}d^{2}q^{'(1)}}{dr}}-{\frac {q^{'(1)}d^{2}q^{'(0)}}{dr}}\right)={\frac {q^{'(0)}dq^{'(1)}}{dr}}-{\frac {q^{'(1)}dq^{'(0)}}{dr}}.$

Le premier membre de cette équation devient, en y substituant pour ${\frac {d^{2}q^{'(0)}}{dr}}$ et ${\frac {d^{2}q^{'(1)}}{dr}}$ leurs valeurs qui résultent de l’équation différentielle en $q',$

$\int q^{'(0)}q^{'(1)}kdr\left(n^{(0)^{2}}-n^{(1)^{2}}\right),$

$n^{(0)}$ et $n^{(1)}$ étant les valeurs de $n$ relatives aux racines de l’équation (4) correspondantes à $q^{'(0)}$ et $q^{'(1)}.$ De plus, à la surface, on a

${\frac {q^{'(0)}dq^{'(1)}}{dr}}-{\frac {q^{'(1)}dq^{'(0)}}{dr}}=0\,;$

car l’équation à la surface

$-{\frac {dq^{(i)}}{dr}}=fq^{(i)}$

donne les deux suivantes :

${\frac {dq^{'(0)}}{dr}}=\left({\frac {1}{r}}-f\right)q^{'(0)},\qquad {\frac {dq^{'(1)}}{dr}}=\left({\frac {1}{r}}-f\right)q^{'(1)}$

On a donc

$0=\int q^{'(0)}q^{'(1)}dr\left(kn^{(0)^{2}}-kn^{(1)^{2}}\right).$

De là il est aisé de voir que l’on a

$\mathrm {A} ^{(0)}\int q^{'(0)^{2}}dr=\int dr.rq^{'(0)}\varphi (r),$

ce qui donne

$\mathrm {A} ^{(0)}={\frac {\int dr.rq^{'(0)}\varphi (r)}{\int q^{'(0)^{2}}dr}},$

les intégrales étant prises depuis $r=0$ jusqu’à $r=a.$ En changeant