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LIVRE XIII.

Parmi les inégalités lunaires, celle que l’on nomme variation augmente, dans les syzygies, la parallaxe de la Lune et sa vitesse angulaire de quantités constantes ; elle les diminue des mêmes quantités dans les quadratures. Relativement à cette inégalité, $s$ est égal à $2(m'-m),$ et, dans les syzygies, le cosinus de $2(m'-m)\mathrm {T}$ est l’unité ; il est $-1$ dans les quadratures. La théorie lunaire donne, par rapport à cette inégalité, $3h=-0{,}02334$ et $f=0,01.$ De plus, on verra dans la suite que $m'x$ est à fort peu près égal à ${\frac {1}{4}},$ en sorte que l’on peut supposer, en négligeant la valeur de $m,$

${\frac {fsx}{1+m'x}}=0{,}004,$

ce qui donne

$3h-{\frac {fsx}{1+m'x}}=-0{,}02734.$

On peut, vu la petitesse de $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varepsilon ',$ substituer sans erreur sensible $-0{,}02734$ au lieu de $3h$ dans le facteur de cette quantité ; on aura donc égard à l’inégalité de la variation, dans la valeur de $\alpha ,$ en multipliant $\mathrm {L} '$ par $1{,}02734$ dans les syzygies, et l’on y aura égard dans les quadratures en multipliant $\mathrm {L} '$ par $0{,}97266.$

4. Soit $p$ le carré du cosinus de la déclinaison du Soleil à l’instant de la syzygie ; on aura, par le n^o 2,

$p={\frac {1+\cos ^{2}\varepsilon }{2}}+{\frac {1}{2}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2m'\mathrm {T} \,;$

or on a

$\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon ={\frac {1+\cos ^{2}\varepsilon }{2}}-\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon \,;$

en négligeant donc, comme nous l’avons fait, $\sin ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon ,$ on aura

$2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\cos ^{4}{\frac {1}{2}}\varepsilon +\mathrm {B} \sin ^{2}\varepsilon {\frac {\mathrm {L} '}{r^{3}}}\cos 2m\mathrm {T} =2\mathrm {A} {\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}p-(\mathrm {A-B} ){\frac {\mathrm {L} }{r^{3}}}\sin ^{2}\varepsilon \cos 2m'\mathrm {T} .$