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Si l’on multiplie chacune de ces équations respectivement par les coefficients de $\zeta ,$ et que l’on fasse la somme des produits, si l’on fait des sommes semblables relativement aux coefficients de $\zeta '$ et $\zeta '',$ ces trois sommes donneront les équations suivantes :

${\begin{aligned}979\zeta +225\zeta '+55\zeta ''=&f'+4f''+9f'''+16f^{\text{ıv}}+25f^{\mathrm {v} },\\225\zeta +\ \ 55\zeta '+15\zeta ''=&f'+2f''+3f'''+\ \ 4f^{\text{ıv}}+5f^{\mathrm {v} },\\55\zeta +\ \ 15\zeta '+\ \ 6\zeta ''=&f\ +\ \ f'\ +\ \ f''\ +\quad f'''+f^{\text{ıv}}+f^{\mathrm {v} }.\end{aligned}}$

Ces équations donnent

${\begin{aligned}\zeta \ \ =&{\frac {10\left(f+f^{\mathrm {v} }-f''-f'''\right)+2\left(f''+f'''-f'-f^{\text{ıv}}\right)}{112}}\\\\\zeta '\ =&{\frac {5(f^{\mathrm {v} }-f')+3(f^{\text{ıv}}-f')+f'''-f''}{35}}-5\zeta ,\\\\\zeta ''=&{\frac {f+f'+f''+f'''+f^{\text{ıv}}+f^{\mathrm {v} }}{6}}-{\frac {5}{2}}\zeta '-{\frac {55}{6}}\zeta .\end{aligned}}$

Maintenant on a, le mètre étant pris pour unité,

${\begin{alignedat}{3}f\ \ =&709{,}944,&\qquad f'\ =&779{,}987,&\qquad f''=&817{,}538,\\f'''=&811{,}886,&\qquad f^{\text{ıv}}=&778{,}429,&\qquad f^{\mathrm {v} }=&702{,}897.\end{alignedat}}$

On trouve ainsi

${\begin{aligned}\zeta \ \ =&-18{,}06977,\\\zeta '\ =&\quad 89{,}04710,\\\zeta ''=&\ \ \ 809{,}8021.\end{aligned}}$

L’expression

$\zeta t^{2}+\zeta 't+\zeta ''\quad$ou$\quad \zeta ''-{\frac {\zeta '^{2}}{4\zeta }}+\zeta \left(t+{\frac {\zeta '}{2\zeta }}\right)^{2}$

des valeurs de $f,f',f'',\ldots$ devient

$819{,}5070-18{,}06977.(t-2{,}46398)^{2}.$

Exprimons par $t'$ la distance d’une haute marée du soir à l’instant de la syzygie, $t'$ étant supposé positif pour les marées qui suivent la syzygie. Soit $y$ une constante arbitraire, dont nous disposerons de manière que $\alpha -{\text{ϐ}}(t'-y)^{2}$ représente cette haute marée. La basse marée qui la précède sera, comme on l’a vu d’après la loi de la pesanteur uni-