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MÉCANIQUE CÉLESTE

$\mathrm {T}$ étant la masse entière de la Terre. En substituant pour $x',y',z'$ leurs valeurs précédentes, on trouvera

${\begin{aligned}\mathrm {V} ={\frac {\mathrm {LT} }{r_{1}}}&+{\frac {3\mathrm {L} }{4r_{1}^{5}(\mathrm {B-A} )}}\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {\left[X^{2}-(Y\cos \theta -Z\sin \theta )^{2}\right]\cos 2\varphi } \\&+\mathrm {2X(Y\cos \theta -Z\sin \theta )\sin 2\varphi } \end{aligned}}\right\}\\\\&+{\frac {3\mathrm {L} }{4r_{1}^{5}}}(\mathrm {2C-A-B} )\left[\mathrm {X^{2}+(Y\cos \theta -Z\sin \theta )^{2}} -{\frac {2}{3}}r_{1}^{2}\right],\end{aligned}}$

$\mathrm {X,Y,Z}$ étant les coordonnées $x,y,z$ de l’astre $\mathrm {L}$, rapportées, par la supposition de $\psi$ nul, à l’équinoxe du printemps et aux deux axes perpendiculaires à la ligne des équinoxes, l’écliptique fixe d’une époque donnée étant prise pour le plan fixe.

Quoique cette expression ne renferme point explicitement l’angle $\psi ,$ elle le renferme implicitement, parce que les coordonnées $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ en dépendent. Si l’on nomme $\mathrm {R}$ la projection du rayon $r_{1}$ sur l’écliptique et $\upsilon$ l’angle que cette projection fait avec l’axe fixe d’où l’on compte les angles, on aura

$\mathrm {X=R\cos(\upsilon +\psi ),\qquad Y=R\sin(\upsilon +\psi )} ,$

d’où l’on tire

$\mathrm {{\frac {\partial X}{\partial \psi }}=-Y,\qquad {\frac {\partial Y}{\partial \psi }}=X} \,;$

par conséquent,

$\mathrm {{\frac {\partial V'}{\partial \psi }}=X{\frac {\partial V'}{\partial Y}}-Y{\frac {\partial V'}{\partial X}}} .$

Les équations (F) donneront ainsi

${\begin{aligned}&\mathrm {C} dp+(\mathrm {B-A} )qrdt=\\&\qquad {\frac {3\mathrm {L} dt}{2r_{1}^{5}}}(\mathrm {B-A} )\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {\left[(Y\cos \theta -Z\sin \theta )^{2}-X^{2}\right]\cos 2\varphi } \\&+\mathrm {2X(Y\cos \theta -Z\sin \theta )-\sin 2\varphi } \end{aligned}}\right\},\\\\&\mathrm {A} dq+(\mathrm {C-B} )prdt=\\&\qquad {\frac {3\mathrm {L} dt}{2r_{1}^{5}}}(\mathrm {C-B} )\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {(Y\cos \theta -Z\sin \theta )(Y\sin \theta +Z\cos \theta )\cos \varphi } \\&-\mathrm {X(Y\sin \theta +Z\cos \theta )\sin \varphi } \end{aligned}}\right\},\\\\&\mathrm {B} dr+(\mathrm {A-C} )pqdt=\\&\qquad {\frac {3\mathrm {L} dt}{2r_{1}^{5}}}(\mathrm {A-C} )\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {X(Y\sin \theta +Z\cos \theta )\cos \varphi } \\&+\mathrm {(Y\cos \theta -Z\sin \theta )(Y\sin \theta +Z\cos \theta )\sin \varphi } \end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Ces équations sont identiquement les équations (G) du n^o 4 du Livre V. Elles donnent, en les intégrant, les valeurs de \varphi,\psi et \theta au moyen des