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MÉCANIQUE CÉLESTE

qu’ils assurent l’uniformité de la rotation de la Terre et la stabilité des latitudes terrestres.

Je n’ai point eu égard, dans le Livre V, à l’inégalité dépendante du double de la longitude du nœud de l’orbite lunaire, par la raison qu’elle est très-petite relativement à la nutation. Cependant, vu la précision des observations modernes, et parce qu’il est facile de la comprendre dans une même Table avec la nutation, je vais ici la déterminer.

Pour cela, je rapporterai les coordonnées $\mathrm {X,Y,Z}$ au plan de l’écliptique vraie, en faisant abstraction des variations séculaires de cette écliptique, ce que l’on peut faire ici. En désignant par $\upsilon '$ la longitude de la Lune, comptée de l’équinoxe du printemps, et par $\Lambda$ la longitude de son nœud ascendant, on aura

${\begin{aligned}\mathrm {X} =&r'_{1}{\sqrt {1-\gamma ^{2}\sin ^{2}(\upsilon '-\Lambda )}}\cos \upsilon ',\\\mathrm {Y} =&r'_{1}{\sqrt {1-\gamma ^{2}\sin ^{2}(\upsilon '-\Lambda )}}\sin \upsilon ',\\\mathrm {Z} =&r'_{1}\sin(\upsilon '-\Lambda ),\end{aligned}}$

$r'_{1}$ étant la distance de la Lune à la Terre, $\gamma$ étant l’inclinaison de l’orbe lunaire à l’écliptique, inclinaison dont nous négligeons les puissances supérieures au carré. On aura, à très-peu près,

$\mathrm {XY} ={\frac {r_{1}^{'2}}{2}}\left[1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}+{\frac {1}{2}}\gamma ^{2}\cos(2\upsilon '-2\Lambda )\right]\sin 2\upsilon '.$

En substituant au lieu de $\upsilon '$ sa valeur approchée

$m't-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\sin(2\upsilon '-2\Lambda ),$

on trouvera que $\mathrm {XY}$ contient le terme

${\frac {r_{1}^{'2}}{4}}\sin 2\Lambda \,;$

l’expression de $\mathrm {P} '$ contient donc le terme

${\frac {3\mathrm {L} '}{4r_{1}^{'3}}}\sin \theta .\gamma ^{2}\sin 2\Lambda .$