des altérations qui ne deviennent sensibles qu’après un long intervalle de temps.
Fontaine remarqua, le premier, qu’une équation différentielle d’un ordre quelconque a autant d’intégrales de l’ordre inférieur qu’il y a d’unités dans son ordre. Lagrange, dans sa pièce sur les perturbations des comètes, qui remporta en 1780 le prix de l’Académie des Sciences, et dans les Mémoires de Berlin pour l’année 1782, considéra sous ce point de vue général les intégrales des équations différentielles du mouvement des planètes. Le mouvement d’une planète soumise à la seule attraction du Soleil est donné par trois équations différentielles du second ordre, dont les trois intégrales finies renferment, par conséquent, six constantes arbitraires, qui sont les éléments du mouvement elliptique. En différenciant ces intégrales, on a six équations, au moyen desquelles on peut, par l’élimination, déterminer chaque élément en fonction des coordonnées du mouvement de la planète et de leurs différentielles divisées par l’élément du temps. Lagrange conçoit que ces six équations différentielles du premier ordre ont également lieu dans l’ellipse invariable et dans l’ellipse troublée, mais que, dans ce dernier cas, les éléments sont variables. Pour avoir les différentielles des éléments, il fait tout varier en différenciant chacune de ces intégrales du premier ordre, et il substitue après la différentiation, au lieu de la différence seconde de chaque coordonnée, sa valeur donnée par les équations différentielles du mouvement de la planète troublée. Il obtient ainsi la différentielle de chaque élément. Ensuite il observe que, dans la substitution de la valeur de la différence seconde de chaque coordonnée, on peut ne considérer que la partie de cette valeur due aux forces perturbatrices, l’autre partie devant disparaître dans l’expression de la différentielle de l’élément, puisque cette expression serait identiquement nulle si ces forces n’existaient pas. Lagrange, dans sa pièce sur l’équation séculaire de la Lune, qui remporta en 1774 le prix de l’Académie des Sciences, exprima les forces attractives, décomposées suivant la direction des coordonnées, par les différences partielles d’une fonction prises par rapport à ces coordonnées. Si l’on rap-
