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LIVRE XVI.
par 
Dans les octants, où le mouvement vrai est, en degrés sexagésimaux, égal à 
Newton trouve, en substituant pour 
et pour 
les valeurs qu’il a déterminées, le mouvement vrai de la Lune égal à 
en le soustrayant de la différence 
est la valeur du coefficient de l’inégalité de la variation. Mais Newton observe que, en vertu du mouvement apparent du Soleil, le mouvement lunaire de la quadrature à la syzygie, au lieu d’être 
est agrandi dans le rapport de la durée du mois synodique à la durée du mois sidéral, ce qui revient à diviser 
par 
Il en conclut que tous les angles autour de la Terre, et par conséquent l’inégalité de la variation, doivent être augmentés dans le même rapport, ce qui porte cette inégalité à 
Pour avoir l’expression analytique de l’inégalité de la variation qui résulte du procédé de Newton, nommons 
cette inégalité. Nous aurons
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\upsilon +s\delta \upsilon )=\left[1-2x-{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}\right]\operatorname {tang} \upsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49476fcba4c6b3b537ced3c96f420c629387f79f)
étant le moyen mouvement de la Lune compté de la quadrature. Cela donne, en négligeant le carré de 
![{\displaystyle {\frac {\delta \upsilon }{\cos ^{2}\upsilon }}=-\left[2x+{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}\right]{\frac {\sin \upsilon }{\cos \upsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bed182eaab380794643d2f2090e21f47f676f599)
ou
![{\displaystyle \delta \upsilon =-{\frac {1}{2}}\left[2x+{\frac {3m^{2}}{4(1-m)}}\right]\sin 2\upsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51dd8e5f39cba3efc144ad80da6bf53b12265a5f)
Il faut, suivant Newton, substituer dans cette expression 
au lieu de et la diviser par 
, ce qui donne
![{\displaystyle \delta \upsilon =-{\frac {\left[2x+{\cfrac {3m^{2}}{4(1-m)}}\right]\sin(2\upsilon -2m\upsilon )}{2(1-m)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81b57c1bfe2b20a589b85fc405cb027b7721d3f)
Si l’on fait partir l’angle de la syzygie, il faut l’augmenter de ce qui revient à changer le signe de 
On peut obtenir cette expression plus simplement, de la manière
