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$\pi$ étant le rapport de la circonférence au diamètre ; les différentielles et les intégrales sont relatives à la variable $a$, et celles-ci sont prises depuis $a$ nul jusqu’à sa valeur à la surface du sphéroïde, valeur que je prendrai pour l’unité.

Concevons maintenant la mer en équilibre sur ce sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. Soit $\alpha \varphi$ le rapport de la force centrifuge à la pesanteur à l’équateur, et désignons par $\mathrm {V} '$ la somme de toutes les molécules de la mer divisées par leurs distances respectives au point attiré. Si l’on suppose ce point à la surface de la mer, on aura, par les n^o 23 et 29 du Livre III, pour l’équation de l’équilibre de la mer,

$(1)\left\{{\begin{aligned}\mathrm {const} .={\frac {4}{3r}}\pi \int \rho d.a^{3}&+4\alpha \pi \int \rho d\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3r^{2}}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5r^{3}}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7r^{4}}}+\ldots \right)\\\\&+\mathrm {V} '-{\frac {\alpha \varphi r^{2}}{2}}\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right){\frac {4}{3}}\pi \int \rho d.a^{3}.\end{aligned}}\right.$

Pour déterminer $\mathrm {V} ',$ je supposerai que le rayon mené de l’origine des rayons terrestres à la surface de la mer soit $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',\ {\overline {y}}$ étant la valeur de $y$ à la surface du sphéroïde ; $\alpha y'$ sera à très peu près la profondeur de la mer. Je supposerai ensuite

$y'=\mathrm {Y^{'(0)}+Y^{'(1)}+Y^{'(2)}+Y^{'(3)}} +\ldots .$

$\mathrm {Y} ^{(i)}$ étant une fonction rationnelle et entière de $\mu ,\ {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \omega ,$${\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \omega ,$ assujettie à la même équation aux différences partielles que $\mathrm {Y} ^{(i)}.$ On peut considérer la mer comme égale à un sphéroïde dont le rayon est $1+\alpha {\overline {y}}+\alpha y',$ moins un second sphéroïde dont le rayon est $1+\alpha {\overline {y}},$ plus la partie de ce sphéroïde qui se relève au-dessus du premier et où, par conséquent, $\alpha y'$ est négatif. La somme des molécules du premier sphéroïde, divisées par leurs distances au point attiré, est, par le n^o 11 du Livre III, en prenant pour unité la densité de la mer,

${\frac {4\pi }{3r}}+4\alpha \pi \left({\frac {\mathrm {Y} ^{'(0)}}{r}}+{\frac {\mathrm {{\overline {Y}}^{(1)}+Y^{'(1)}} }{3r^{2}}}+{\frac {\mathrm {{\overline {Y}}^{(2)}+Y^{'(2)}} }{5r^{3}}}+\ldots \right).$

$\mathrm {{\overline {Y}}^{(1)},{\overline {Y}}^{(2)}} ,\ldots$ étant ce que deviennent $\mathrm {Y^{(1)},Y^{(2)}} ,\ldots$ à la surface du sphé-