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LIVRE XVI.

les angles $\upsilon$ et $m\upsilon$ étant ici rapportés à l’écliptique. En la désignant par $r^{2}\mathrm {Q} ',$ la partie de $\mathrm {R}$ que nous devons considérer dans la question présente sera

$r^{2}\mathrm {Q} '+{\frac {k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}.$

On aura ainsi

$2r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4r^{2}\mathrm {Q} '-{\frac {8k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}.$

La caractéristique ne portant ici que sur les termes multipliés par $k$, si l’on néglige le carré de $k,$ on aura

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=4\delta .r^{2}\mathrm {Q} '-{\frac {8k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}.$

Mais, en n’ayant égard qu’aux inégalités à longues périodes, on peut, comme on l’a dit, supposer $\delta \mathrm {R}$ nul, ce qui donne

$\delta .r^{2}\mathrm {Q} '=-{\frac {k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}\,;$

on a donc

$2\delta .r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-{\frac {12k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}},$

la formule précédente (a) devient ainsi

$d.\delta \upsilon =-{\frac {d(dr\delta r)}{dt}}-dt\left[{\frac {12k\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}r^{4}}}+2\mathrm {Q} 'r\delta r\right].$

Il faut maintenant déterminer r\delta r. Pour cela, je reprends les équations (L) du n^o 1 du Livre VII. En adoptant les dénominations du même Livre, la différence des deux hémisphères terrestres ajoute à la valeur de $\mathrm {Q}$ du numéro cité le terme

$-{\frac {ku^{4}\sin 3f\upsilon }{\left(1+s^{2}\right)^{\frac {7}{2}}}},$