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SUPPLÉMENT AU V^e VOLUME.

donne

${\frac {d^{2}v}{dt^{2}}}=-{\frac {2{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mathrm {R} ^{3}}}{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}.$

Au périhélie et à l’aphélie, ${\frac {d\mathrm {R} }{dt}}$ est nul ; ${\frac {d\mathrm {R} }{\mathrm {R} ^{3}}}dt$ est positif, en allant du premier de ces points au second, et négatif du second au premier. Soit $k$ sa plus grande valeur positive ; $-k$ sera sa plus grande valeur négative. En supposant donc que les valeurs de $\sin it$ soient positives et égales à l’unité depuis le périhélie jusqu’à l’aphélie, et négatives et égales à $-1$ depuis l’aphélie jusqu’au périhélie, on voit que l’intégrale $dt\sin it\int {\frac {\cfrac {d\mathrm {R} }{dt}}{\mathrm {R} ^{3}}},$ prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à $2\pi ,$ sera moindre, abstraction faite du signe, que $2ik.$ De là il suit que $a^{(i)},$ abstraction faite du signe, est moindre que

${\frac {4k{\sqrt {1-e^{2}}}}{i^{2}}}.$

Ce terme devient nul lorsque $i$ est infini. De plus, la série de l’expression précédente de $v,$ à partir de $i$ supposé très-grand, est moindre que

${\frac {4k{\sqrt {1-e^{2}}}}{i}}\,;$

quantité qui devient nulle lorsque $i$ est infini. Cette série est donc convergente.

Considérons de la même manière l’expression de $\mathrm {R}$ développée dans une série ordonnée par rapport aux cosinus de $t$ et de ses multiples. Soit

$\mathrm {R} =b^{(0)}+b^{(1)}\cos t+\ldots +b^{(i)}\cos it+\ldots \,;$

on aura

$\pi b^{(i)}=\int \mathrm {R} dt\cos it,$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à $2\pi ,$ ce qui donne

$\pi b^{(i)}=-{\frac {1}{i^{2}}}\int dt\cos it{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{dt^{2}}}.$