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MÉCANIQUE CÉLESTE.
Il résulte de ce qui précède que la condition nécessaire pour la convergence des séries qui expriment le rayon vecteur et l’anomalie vraie, développés suivant les puissances de l’excentricité, est que l’excentricité soit moindre que
étant donné par l’équation
Les deux séries sont alors convergentes ; c’est ce qui a lieu pour toutes les planètes, même pour les planètes télescopiques. Les valeurs supérieures de l’excentricité font diverger la série du rayon vecteur, et alors il faut recourir à d’autres développements. Tel est le cas de la comète à courte période.
4. On développe encore les expressions de l’anomalie vraie et du rayon vecteur suivant les sinus et cosinus multiples de l’anomalie moyenne. Soit alors
étant des fonctions de l’excentricité. On peut facilement démontrer que la série est toujours convergente. En effet, on a
l’intégrale étant prise depuis nul jusqu’à égale Or on a dans ces limites, en intégrant par parties,
on aura donc
L’équation