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On a

$\int d\varpi \left[1-2\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi \right]^{i}$

$=e^{i\log \left[1-2\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi \right]},$

$c$ étant le nombre dont le \logarithme hyperbolique est l’unité. Il résulte de la méthode générale que j’ai donnée dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour l’année 1782, et que j’ai développée avec étendue dans ma Théorie analytique des probabilités, que, dans le cas de $i$ un très-grand nombre, cette intégrale devient à très-peu près égale à celle-ci,

$\int d\varpi c^{-{\frac {1}{2}}\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '.\varpi ^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ infini. En faisant

$\varpi {\sqrt {{\frac {i}{2}}\left(\cos \gamma '-{\sqrt {-1}}\sin \gamma '\right)\cos \gamma '}}=t,$

cette intégrale devient

${\frac {\cos {\frac {1}{2}}\gamma '+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {1}{2}}\gamma '}{\sqrt {{\frac {i}{2}}\cos \gamma '}}}\int dtc^{-t^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, ce qui donne

$dtc^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.$

De là il est facile de conclure que la fonction $(f),$ valeur de $\mathrm {P} ^{(i)}$ est à fort peu près, dans le cas de $i$ égal à un très-grand nombre pair,

${\frac {2(-1)^{\frac {i}{2}}\cos \left(i+{\frac {1}{2}}\right)\gamma '}{\left(1-\lambda ^{2}\right)^{\frac {1}{4}}{\sqrt {2\pi i}}}},$

et que, dans le cas de $i$ très-grand et impair, cette valeur est à fort peu