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toute la Terre,

${\begin{aligned}\int {\overline {x}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \cos \mathrm {A} \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(0)}\right)+q^{'(0)}+\mathrm {Q} ^{(0)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \sin \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+q^{'(1)}+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+q^{'(2)}+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\},\\\\\int {\overline {y}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \cos \mathrm {A} \left\{{\begin{aligned}&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+q^{'(1)}+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\+&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+q^{'(2)}+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\}\\-&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \sin \mathrm {A} \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(0)}\right)+q^{'(0)}+\mathrm {Q} ^{(0)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right],\\\\\int {\overline {z}}dm=&{\frac {4}{3}}\alpha \pi \left\{{\begin{aligned}&\cos \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(1)}\right)+q^{'(1)}+\mathrm {Q} ^{(1)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\\-&\sin \Pi \left[\int \rho d\left(a^{4}q^{(2)}\right)+q^{'(2)}+\mathrm {Q} ^{(2)}\int \rho d\left(a^{4}\right)\right]\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}$

Les conditions nécessaires pour que l’axe de rotation passe par le centre de gravité de la Terre sont que ces trois valeurs de $\int {\overline {x}}dm,$ $\int {\overline {y}}dm,\int {\overline {z}}dm$ soient nulles ; en les égalant donc à zéro, on déterminera les trois constantes $\mathrm {Q} ^{(0)},\mathrm {Q} ^{(1)}$ et $\mathrm {Q} ^{(2)}.$ Ainsi le sphéroïde terrestre, recouvert en entier par la mer en équilibre, a un axe de rotation passant par le centre commun de gravité du sphéroïde et de la mer, et autour duquel le sphéroïde tourne d’une manière uniforme.

L’analyse précédente conduit à un théorème fort simple sur la détermination de cet axe. En effet, l’équation précédente $(i)$ donne, en observant que l’on peut mettre ${\overline {h}}^{(s)}$ sous la forme $\int d(a^{5}h^{(s)},$

$h^{'(s)}+\int \rho d\left(a^{5}h^{(s)}\right)={\frac {\int (\rho -1)d\left(a^{5}h^{(s)}\right)}{1-{\cfrac {3}{5\int \rho d\left(a^{3}\right)}}}},$

$s$ devant être supposé successivement égal à $0,1,2,3,4.$ En substituant les diverses valeurs du premier membre de cette équation dans les trois équations qui déterminent les quantités $\mathrm {A} ,\Pi$ et $\varepsilon ,$ on voit que ces équations déterminent l’axe principal du sphéroïde terrestre, lorsqu’on suppose les densités $\rho$ de ses couches diminuées de l’unité ou de la densité de la mer.