Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 5.djvu/91

l’origine de ce rayon étant au centre de gravité de la Terre entière. $\alpha l$ est la profondeur moyenne de la mer, et l’on a, en nommant $\alpha m$ la masse de ce fluide,

$\alpha \iint ld\mu _{1}d\varpi _{1}=\alpha m,$

$\mu _{1}$ étant le sinus de la latitude et $\varpi _{1}$ la longitude rapportée à ce premier axe principal. Les intégrales devant être prises depuis $\mu _{1}=-1$ jusqu’à $\mu _{1}=1$ et depuis $\varpi _{1}=0$ jusqu’à $\varpi _{1}=2\pi ,$ on aura

$4\pi \alpha l=\alpha m.$

On a ensuite, par le n^o 3 du Chapitre précédent,

$\mathrm {Y} ^{'(i)}={\frac {-{\overline {\mathrm {Y} }}^{(i)}+{\cfrac {3\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{(2i+1)\int \rho d.a^{3}}}}{1-{\cfrac {3}{(2i+1)\int \rho d.a^{3}}}}},$

et dans le cas de $i=2$ on a

$\mathrm {Y} ^{'(2)}={\frac {-{\overline {\mathrm {Y} }}^{(2)}+{\cfrac {3\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)}{5\int \rho d.a^{3}}}-{\cfrac {\varphi }{2}}\left(\mu _{1}^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{1-{\cfrac {3}{5\int \rho d.a^{3}}}}}.$

On aura ainsi

$\mathrm {Y^{'(i)}+{\overline {Y}}^{(i)}} ={\frac {3\int (\rho -1)d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{(2i+1)\int \rho d.a^{3}-3}},$

et, dans le cas de $i=2$

$\mathrm {Y^{'(2)}+{\overline {Y}}^{(2)}} ={\frac {3\int (\rho -1)d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)-{\frac {5}{2}}\varphi \left(\mu _{1}^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\int \rho d.a^{3}}{5\int \rho d.a^{3}-3}}.$

Nommons $u$ la fonction

${\frac {3\int (\rho -1)d\left(a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}\right)}{3\int \rho d.a^{3}-3}}+{\frac {3\int (\rho -1)d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)}{5\int \rho d.a^{3}-3}}+{\frac {3\int (\rho -1)d\left(a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}\right)}{7\int \rho d.a^{3}-3}}+\ldots .$

Le rayon de la surface de la mer sera

$1+\alpha l+\alpha u-{\frac {{\frac {5}{2}}\alpha \varphi \left(\mu _{1}^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\int \rho d.a^{3}}{5\int \rho d.a^{3}-3}}.$