de plusieurs problèmes difficiles. Le Traité de Moivre, postérieur à celui de Montmort, parut d’abord dans les Transactions philosophiques de l’année 1711. Ensuite l’auteur le publia séparément, et il l’a perfectionné successivement dans les trois éditions qu’il en a données. Cet Ouvrage est principalement fondé sur la formule du binôme, et les problèmes qu’il contient ont, ainsi que leurs solutions, une grande généralité. Mais ce qui le distingue est la théorie des suites récurrentes et leur usage dans ces matières. Cette théorie est l’intégration des équations linéaires aux différences finies à coefficients constants, intégration à laquelle Moivre parvient d’une manière très heureuse.
Moivre a repris dans son Ouvrage le théorème de Jacques Bernoulli sur la probabilité des résultats déterminés par un grand nombre d’observations. Il ne se contente pas de faire voir, comme Bernoulli, que le rapport des événements qui doivent arriver approche sans cesse de celui de leurs possibilités respectives ; il donne de plus une expression élégante et simple de la probabilité que la différence de ces deux rapports est contenue dans des limites données. Pour cela, il détermine le rapport du plus grand terme du développement d’une puissance très élevée du binôme à la somme de tous ses termes, et le logarithme hyperbolique de l’excès de ce terme sur les termes qui en sont très voisins. Le plus grand terme étant alors le produit d’un nombre considérable de facteurs, son calcul numérique devient impraticable. Pour l’obtenir par une approximation convergente, Moivre fait usage d’un théorème de Stirling sur le terme moyen du binôme élevé à une haute puissance, théorème remarquable surtout en ce qu’il introduit la racine carrée du rapport de la circonférence au rayon, dans une expression qui semble devoir être étrangère à cette transcendante. Aussi Moivre fut-il extrêmement frappé de ce résultat, que Stirling avait déduit de l’expression de la circonférence en produits infinis, expression à laquelle Wallis était parvenu par une singulière analyse qui contient le germe de la théorie si curieuse et si utile des intégrales définies.
Plusieurs savants, parmi lesquels on doit distinguer Deparcieux, Kersseboom, Wargentin, Dupré de Saint-Maure, Simpson, Sussmilch,
