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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

De plus, le coefficient de $t^{x},$ dans le développement de $u,$ est $y_{x}\,;$ ce coefficient dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)$ est $\Delta y_{x}\,;$ dans le développement de $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2},$ il est égal à $\Delta ^{2}y_{x},$ et ainsi de suite ; l’équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

$y_{x+i}=y_{x}+i\Delta y_{x}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x}+\ldots .$

Cette équation, ayant lieu quel que soit $i,$ en le supposant même fractionnaire, sert à interpoler les suites dont les différences successives vont en décroissant.

Si l’on a l’équation aux différences finies

$\Delta ^{n}y_{x}=0,$

la série précédente se termine, et l’on a, quel que soit $i,$ en faisant $x$ nul,

$y_{i}=y_{0}+i\Delta y_{0}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {i(i-1)\ldots (i-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}\Delta ^{n-1}y_{0}.$

C’est l’intégrale complète de l’équation proposée aux différences, $y_{0},\Delta y_{0},\ldots ,$$\Delta ^{n-1}y_{0}$ étant les $n$ constantes arbitraires de cette intégrale.

Toutes les manières de développer la puissance ${\frac {1}{t^{i}}}$ donnent autant de manières différentes d’interpoler les suites. Soit, par exemple,

${\frac {1}{t}}=1+{\frac {\alpha }{t^{r}}}\,;$

en développant ${\frac {1}{t^{i}}}$ suivant les puissances de $\alpha ,$ par la formule $(p)$ du n^o 21 du second livre de la Mécanique céleste, on aura

${\frac {u}{t_{i}}}=u\left\{{\begin{aligned}1&+i\alpha +{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}\\&+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+4r-2)(i+4r-1)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}.$