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LIVRE PREMIER.
ou de 
en divisant ensuite cette valeur par 
on aura
![{\displaystyle {\frac {u}{t^{i}}}={\frac {u}{2}}(1+t)\left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}}{1.2}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\\&+{\frac {\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\right]\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {9}{4}}\right]}{1.2.3.4}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83e55a00a89fd4b8a0b01a8da0505bbe9c553c73)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}}{1.2.3}}t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\\&+{\frac {\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\right]\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {9}{4}}\right]}{1.2.3.4.5}}t^{2}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15d52cef61adbc4157a1494d92bc7b91bd25fac)
En repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x+i}&={\frac {1}{2}}(y_{x}+y_{x-1})+{\frac {\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}}{1.2}}{\frac {1}{2}}\left(\Delta ^{2}y_{x-1}+\Delta ^{2}y_{x-2}\right)\\&+{\frac {\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\right]\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {9}{4}}\right]}{1.2.3.4}}{\frac {1}{2}}\left(\Delta ^{4}y_{x-2}+\Delta ^{4}y_{x-3}\right)+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9dfb67af10c6a3680e73538aa2bb69dbda49ab6e)
![{\displaystyle +\left(i+{\frac {1}{2}}\right)\left\{{\begin{aligned}&\Delta y_{x-1}+{\frac {\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x-2}\\&+{\frac {\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {1}{4}}\right]\left[\left(i+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-{\frac {9}{4}}\right]}{1.2.3.4.5}}\Delta ^{5}y_{x-3}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98fa4b5bd48c2dddceb1b07116273fa22427e38)
Cette formule sert à interpoler entre un nombre pair 
de quantités équidistantes, 
et 
étant les deux quantités moyennes. Elle est disposée d’une manière symétrique relativement aux quantités également distantes du milieu de l’intervalle qui sépare les quantités extrêmes : ce milieu est l’origine des valeurs de 
qui sont positives au-dessus et négatives au-dessous.
Toutes ces expressions de 
sont identiques et telles que, si l’on conçoit une courbe parabolique dont 
soit l’abscisse et l’ordonnée, et dont l’équation soit celle qui donne l’expression de 
cette courbe passera par les extrémités des ordonnées 
On peut ainsi, en prenant les différences finies successives d’un nombre quelconque de coordonnées, faire passer une courbe parabolique par les extrémités de ces coordonnées.
