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LIVRE PREMIER.

unification que nous lui avons donnée dans le n^o 5, et que l’on considère qu’en désignant $q_{i}$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement d’une fonction quelconque de $\theta ,$ ce même coefficient dans le développement de cette fonction multipliée par $\left({\frac {1}{\theta }}-1\right)^{\mu }$ sera, par le n^o 2, égal à $\Delta ^{\mu }q_{i},$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{t^{i}}}&=b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+b'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+b'z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'z\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'z^{2}\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'z^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+qz\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+qz^{2}\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+{\frac {1}{t'}}\left\{{\begin{aligned}&c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{t'^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&e'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {q}{t^{'n-1}}}\left\{\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \right\}.\end{aligned}}$

Présentement il est clair, par le n^o 2, que le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de la fonction ${\frac {uz^{s}}{t'^{r}}}$ est $\Delta ^{r}\nabla ^{s}y_{x}\,;$ l’équation précédente donnera donc, en multipliant ses deux membres par $u$ et repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

$y_{x+i}=$

${\begin{aligned}&y_{x}\left[b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\right]\\&+\nabla y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\nabla ^{2}y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\Delta y_{x}\quad \left(c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\right)\\&+\Delta \nabla y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\Delta \nabla ^{2}y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\Delta ^{n-1}y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\Delta ^{n-1}\nabla y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\Delta ^{n-1}\nabla ^{2}y_{x}+\ldots ,\end{aligned}}$