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LIVRE PREMIER.
unification que nous lui avons donnée dans le no 5, et que l’on considère qu’en désignant
le coefficient de
dans le développement d’une fonction quelconque de
ce même coefficient dans le développement de cette fonction multipliée par
sera, par le no 2, égal à
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{t^{i}}}&=b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+b'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+b'z^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'z\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'z^{2}\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'z^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+qz\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+qz^{2}\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots \\&+{\frac {1}{t'}}\left\{{\begin{aligned}&c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {1}{t'^{2}}}\left\{{\begin{aligned}&e'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {q}{t^{'n-1}}}\left\{\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+z\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d441619e97060c2ff1b128837173e6733e189c)
Présentement il est clair, par le no 2, que le coefficient de
dans le développement de la fonction
est
l’équation précédente donnera donc, en multipliant ses deux membres par
et repassant des fonctions génératrices à leurs coefficients,
![{\displaystyle y_{x+i}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30e413a8114afc3e3c080824ddfaee95ff57f66)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y_{x}\left[b'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\right]\\&+\nabla y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\nabla ^{2}y_{x}\left(b'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+c'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta ^{2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots +q\Delta ^{n-1}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\Delta y_{x}\quad \left(c'\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\right)\\&+\Delta \nabla y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\right)\\&+\Delta \nabla ^{2}y_{x}\left(c'\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+e'\Delta \mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}+\ldots +q\Delta ^{n-2}\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\Delta ^{n-1}y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\Delta ^{n-1}\nabla y_{x}+q\mathrm {Z} _{i-3n+1}^{(2)}\Delta ^{n-1}\nabla ^{2}y_{x}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9a8e508e6ccbe0d45d6b8fd591e431d957146c)