Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/234

46

THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

En général, on a

${\begin{aligned}uu'u''&\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right)^{n}\\&uu'u''\ldots \left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)\ldots -1\right]^{n},\end{aligned}}$

ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,

(10)

$\Delta ^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =\left[(1+\Delta )(1+\Delta ')(1+\Delta '')\ldots -1\right]^{n},$

pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique $\Delta ,\Delta ',\Delta '',\ldots ,$ respectivement $y_{x},y'_{x},y''_{x},\ldots ,$ et qu’on multiplie ce terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de $\Delta ^{r},$ la quantité $y'_{x}y''_{x}\Delta ^{r}y''_{x}\,;$ au lieu de $\Delta ^{r}\Delta '^{r'},$ on écrira $y_{x}\Delta ^{r}y_{x}\Delta ^{r}y'_{x},$ au lieu de $\Delta '^{r'}\Delta ''^{r''},$ on écrira $y_{x}\Delta ^{r'}y'_{x}\Delta ^{r''}y''_{x},$ et ainsi du reste.

En faisant $n$ négatif, l’équation (10) subsiste encore, pourvu que l’on change les différences négatives en intégrales.

Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques $\Delta ,\Delta ',\Delta '',\ldots$ se changent en $d,d',d'',\ldots .$ L’équation (10) devient ainsi, en négligeant les différentielles d’un ordre supérieur relativement à celles d’un ordre inférieur,

$d^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =(d+d'+d''+\ldots )^{n}.$

Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions $y_{x}$ et $y'_{x},$

$d^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}d^{n}y_{x}+ndy'_{x}d^{n-1}y_{x}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{2}y'_{x}d^{n-2}y_{x}+\ldots .$

En faisant $n$ négatif, les différences négatives se changeant en intégrales, on aura

${\begin{aligned}\int ^{n}y_{x}y'_{x}dx^{n}=&y'_{x}\int ^{n}y_{x}dx^{n}-n{\frac {dy'_{x}}{dx}}\int ^{n+1}y_{x}dx^{n+1}\\&+{\frac {n(n+1)}{1.2}}{\frac {d^{2}y'_{x}}{dx^{2}}}\int ^{n+2}y_{x}dx^{n+2}-\ldots .\end{aligned}}$