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en développant le second membre de cette équation, on aura

${\begin{aligned}y_{x+i,x'+i'}=y_{x,x'}+i\Delta y_{x,x'}\ +{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x,x'}\ \ &+\ldots \\+i'\Delta y_{x,x'}+ii'\Delta {'}\Delta y_{x,x'}\qquad \ \ &+\ldots \\+{\frac {i'(i'-1)}{1.2}}{'}\Delta ^{2}y_{x,x'}&+\ldots \\&+\ldots \end{aligned}}$

Supposons maintenant qu’au lieu d’interpoler suivant les différences de la fonction $y_{x,x'},$ on veuille interpoler suivant d’autres lois. Pour cela, soit

${\begin{aligned}z=\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}\ +{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}\ +{\frac {\mathrm {D} }{t^{3}}}\ \ &+\ldots \\+{\frac {\mathrm {B} '}{t'}}+{\frac {\mathrm {C} '}{tt'}}+{\frac {\mathrm {D} '}{t^{2}t'}}&+\ldots \\+{\frac {\mathrm {C} ''}{t'^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} ''}{tt'^{2}}}&+\ldots \\+{\frac {\mathrm {D} '''}{t'^{3}}}&+\ldots \\&+\ldots \\\end{aligned}}$

Si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} '}{t'}}+{\frac {\mathrm {C} ''}{t'^{2}}}+{\frac {\mathrm {D} '''}{t'^{3}}}&+\ldots =a,\\\mathrm {B} +{\frac {\mathrm {C} '}{t'}}+{\frac {\mathrm {D} ''}{t'^{2}}}\ &+\ldots =b,\\\mathrm {C} \ \ +{\frac {\mathrm {D} '}{t'}}\ \ &+\ldots =c,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

on aura pour $z$ une expression de cette forme

$z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {l}{t^{n}}}.$

Nous supposerons ici que le coefficient $l$ de la puissance la plus élevée de ${\frac {1}{t}}$ est constant ou indépendant de $t',$ et que cette puissance est égale ou plus grande que la somme des puissances de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t'}}$ dans chacun des autres termes de $z.$ il est facile de conclure de l’équation précé-