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LIVRE PREMIER.

dente, comme dans le n^o 5, les valeurs successives de ${\frac {1}{t^{n+1}}},{\frac {1}{t^{n+2}}},{\frac {1}{t^{n+3}}},\ldots$ en fonction de $a,b,c,\ldots ,$ et $z$, et il est visible que, dans chaque terme de l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}},$ la puissance la plus élevée de ${\frac {1}{t}}$ sera moindre que $n$, et la somme des puissances de ${\frac {1}{t}}$ et de ${\frac {1}{t'}}$ ne surpassera pas $i.$

Considérons maintenant la formule (A) du n^o 5, et supposons qu’en développant suivant les puissances de ${\frac {1}{t'}}$ la quantité

${\begin{aligned}&b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+bz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots \\+&e\mathrm {Z} _{i-n+3}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+3}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

on ait

${\begin{aligned}\mathrm {M+N} z&+\ldots +{\frac {1}{t'}}\left(\mathrm {M^{(1)}+N^{(1)}} z+\ldots \right)\\&+{\frac {1}{t'^{2}}}\left(\mathrm {M^{(2)}+N^{(2)}} z+\ldots \right)+\ldots +{\frac {1}{t'^{i}}}\mathrm {M} ^{(i)}\,;\end{aligned}}$

les puissances ultérieures de ${\frac {1}{t'}},$ disparaissent d’elles-mêmes dans ce développement, puisque l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}}$ ne doit point les contenir. Supposons pareillement qu’en développant la quantité

${\begin{aligned}&c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+cz\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \\+&e\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}+ez\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$

on ait

$\mathrm {M_{1}+N_{1}} z+\ldots +{\frac {1}{t'}}\left(\mathrm {M_{1}^{(1)}+N_{1}^{(1)}} z+\ldots \right)+\ldots +{\frac {1}{t'^{i-1}}}\mathrm {M} _{1}^{(i-1)}.$

Supposons encore qu’en développant la quantité

${\begin{aligned}&e\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}$