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LIVRE PREMIER.

Cela posé, si l’on nomme $\nabla y_{x,x'}$ la quantité

${\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,x'}+\mathrm {B} y_{x+1,x'}+\mathrm {C} y_{x+2,x'}&+\ldots \\+\mathrm {B} 'y_{x,x'+1}+\mathrm {C} 'y_{x+1,x'+1}&+\ldots \\+\mathrm {C} ''y_{x,x'+2}&+\ldots \\+\ldots ,\end{aligned}}$

le coefficient $t^{x}t^{x'}$ dans le développement de ${\frac {uz^{\mu }}{t^{r}t'^{r'}}}$ sera, par le numéro précédent, $\nabla ^{\mu }y_{x+r,x'+r'}\,;$ l’équation précédente donnera par conséquent, en la multipliant par $u,$ et en passant des fonctions génératrices à leurs coefficients,

${\begin{aligned}y_{x+i,x'}=\quad &\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {M} y_{x,x'}+\mathrm {N} \nabla y_{x,x'}+\ldots \\+&\mathrm {M} ^{(1)}y_{x,x'+1}+\mathrm {N} ^{(1)}\nabla y_{x,x'}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {M} ^{(i)}y_{x,x'+i}\end{aligned}}\right\}\\\\+&\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {M} _{1}y_{x+1,x'}+\mathrm {N} _{1}\nabla y_{x+1,x'}+\ldots \\+&\mathrm {M} _{1}^{(1)}y_{x+1,x'+1}+\mathrm {N} _{1}^{(1)}\nabla y_{x+1,x'+1}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {M} ^{(i-1)}y_{x+1,x'+i-1}\end{aligned}}\right\}\\\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {M} _{n-1}y_{x+n-1,x'}+\mathrm {N} _{n-1}\nabla y_{x+n-1,x'}+\ldots \\+&\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}y_{x+n-1,x'+1}+\mathrm {N} _{n-1}^{(1)}\nabla y_{x+n-1,x'+1}+\ldots \\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&\mathrm {M} _{n-1}^{(i-n+1)}y_{x+n-1,x'+i+n+1}\end{aligned}}\right\}\end{aligned}}$

14. Si l’on suppose $\nabla y_{x,x'}=0,$ l’équation précédente donnera, en y faisant $x=0$

${\begin{aligned}y_{i,x'}=&\mathrm {M} y_{0,x'}+\mathrm {M} ^{(1)}y_{0,x'+1}+\mathrm {M} ^{(2)}y_{0,x'+2}+\ldots +\mathrm {M} ^{(i)}y_{0,x'+i}\\&+\mathrm {M} _{1}y_{1,x'}+\mathrm {M} _{1}^{(1)}y_{1,x'+1}+\mathrm {M} _{1}^{(2)}y_{1,x'+2}+\ldots +\mathrm {M} _{1}^{(i-1)}y_{1,x'+i-1}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}y_{n-1,x'}+\mathrm {M} _{n-1}^{(1)}y_{n-1,x'+1}+\ldots +\mathrm {M} _{n-1}^{(i-n+1)}y_{n-1,x'+i+n+1}\end{aligned}}$

$\mathrm {M} ^{(r)},\mathrm {M} _{1}^{(r)},\mathrm {M} _{2}^{(r)},\ldots$ étant des fonctions de $i$ et de $r.$ L’expression précédente de $y_{i,x'}$ peut être mise sous cette forme très simple,

$(\lambda )\quad y_{i,x'}=\Sigma \left\{{\begin{aligned}\mathrm {M} ^{(r)}y_{0,x'+r}&+\mathrm {M} _{1}^{(r-1)}y_{1,x'+r-1}+\mathrm {M} _{2}^{(r-2)}y_{2,x'+r-2}+\ldots \\&+\mathrm {M} _{n-1}^{(r-n+1)}y_{n-1,x'+r-n+1}\end{aligned}}\right\}.$