Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/249

61

LIVRE PREMIER.

voit que l’expression générale de $y_{i,x}$ ne dépend que des arbitraires $y_{i\pm r,0},y_{i\pm r,1},\ldots ,y_{i\pm r,n'-1}\,;$ on peut donc, au moyen des $n'$ premiers rangs horizontaux de la Table (Q), former tous ses rangs verticaux, qui sont, chacun, des fonctions de $x'$ dans lesquelles $i$ est invariable.

En passant du fini à l’infiniment petit, on voit avec évidence que le nombre des fonctions arbitraires des équations aux différentielles partielles peut être moindre que le plus haut degré de la différentielle dans ces équations.

16. Quoique les formules données dans les n^os 13 et 14 aient une grande généralité, il y a cependant quelques cas qui n’y sont pas compris. Ces cas ont lieu lorsque l’équation $z=0$ donne l’expression de ${\frac {1}{t^{i}}}$ en ${\frac {1}{t'}}$ par une suite infinie, ce qui arrive toutes les fois que la plus haute puissance de ${\frac {1}{t}}$ est multipliée par une fonction rationnelle de ${\frac {1}{t'}}.$ Pour avoir alors l’expression de $y_{x,x'}$ en termes finis, il est nécessaire de recourir à quelques artifices d’analyse que nous allons exposer, en les appliquant à l’équation suivante :

$(a)\qquad \qquad \qquad \qquad z={\frac {1}{tt'}}-{\frac {a}{t'}}-{\frac {b}{t}}-c.$

Cette équation donne

${\frac {1}{t}}={\frac {{\frac {a}{t'}}+c+z}{{\frac {1}{t'}}-b}},$

par conséquent

${\frac {u}{t^{x}t^{'x'}}}={\frac {u\left({\frac {a}{t'}}+c+z\right)^{x}}{\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{x}t^{'x'}}}.$

En développant le second membre de cette dernière équation, et repassant des fonctions génératrices aux coefficients, on aura l’expression de $y_{x,x'}$ car cette quantité est le coefficient de $t^{0}t'^{0}$ dans le développement de la fonction génératrice ${\frac {u}{t^{x}t^{x'}}}\,;$ et le coefficient $t^{0}t'^{0},$ dans un terme quelconque du développement du second membre, tel que