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$x=-2n,$ en lui donnant une position contraire à la seconde, le point $\mathrm {B}$ conservant la même place, et ainsi de suite à l’infini. Les ordonnées de ces polygones représentent les valeurs de $y_{x,0}$ qui répondent à $x$ négatif. On aura ensuite la valeur de $y_{x,x'}$ en prenant la demi-somme des deux ordonnées qui répondent aux abscisses $x+x'$ et $x-x'.$

Cette construction géométrique est générale, quelle que soit la nature du polygone que nous venons de considérer. Elle servira à déterminer toutes les valeurs de $y_{x,x'}$ comprises depuis $x=0$ jusqu’à $x=n$ et depuis $x'=0$ jusqu’à $x'=\infty ,$ pourvu que l’on ait $y_{0,x'}=0$ et $y_{n,x'}=0,$ et que d’ailleurs le second rang horizontal de la Table (Z) soit tel, que l’on ait

$y_{x,1}={\frac {1}{2}}y_{x+1,0}+{\frac {1}{2}}y_{x-1,0}.$

On a, par ce qui précède,

$y_{x,x'+n}={\frac {1}{2}}y_{x+x'+n,0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x'-n,0}\,;$

de plus,

$y_{x+x'+n,0}=-y_{n-x-x',0},\qquad y_{x-x'-n,0}=-y_{n-x+x',0}\,;$

donc

$y_{x,x'+n}=-{\frac {1}{2}}y_{n-x-x',0}-{\frac {1}{2}}y_{n-x+x',0}=-y_{n-x,x'}.$

Il suit de là que, dans la Table (Z), le $(n=x)$^ième rang horizontal est le $x'$^ième rang pris avec un signe contraire et dans un ordre renversé, en sorte que le terme $r$^ième du rang $(n+x')$^ième est le même que le terme $(n-r)$^ième du $x'$^ième rang pris avec un signe contraire. On a ensuite

$y_{x,2n+x'}={\frac {1}{2}}y_{2n+x+x',0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x'-2n,0}\,;$

on a d’ailleurs, par ce qui précède,

$y_{2n+x+x',0}=y_{x+x',0},$

$y_{x-x'-2n,0}=-y_{2n+x'-x,0}=-y_{x'-x}=y_{x-x'}\,;$

partant

$y_{n,2n+x'}={\frac {1}{2}}y_{x+x',0}+{\frac {1}{2}}y_{x-x',0}=y_{x,x'},$

d’où il suit que le $(2n+x')$^ième rang horizontal est exactement égal au $x'$^ième rang.