car les éléments des deux cordes au point de leur jonction étant en ligne droite et également tendus, ce point n’a aucune tendance à se mouvoir et doit conséquemment rester immobile, ce que l’expérience confirme.
Cette analyse des cordes vibrantes établit d’une manière incontestable la possibilité d’admettre des fonctions discontinues dans ce problème, et l’on en doit généralement conclure que ces fonctions peuvent être employées dans tous les problèmes qui dépendent d’équations à différences partielles infiniment petites, pourvu qu’elles puissent subsister avec ces équations et avec les conditions du problème. On peut en effet considérer ces équations comme des cas particuliers d’équations aux différences finies, dans lesquelles on suppose que les variables deviennent infinies ; or, rien n’étant négligé dans la théorie des équations aux différences finies partielles, il est visible que les fonctions arbitraires de leurs intégrales ne sont point assujetties à la loi de continuité, et que les constructions de ces équations au moyen de polygones ont lieu, quelle que soit la nature de ces polygones. Maintenant, lorsqu’on passe du fini à l’infiniment petit, ces polygones se changent dans des courbes qui, par conséquent, peuvent être discontinues ; ainsi la loi de continuité n’est nécessaire ni dans les fonctions arbitraires des intégrales, ni dans les constructions géométriques qui les représentent. Il faut seulement observer que, si l’équation aux différentielles partielles en est de l’ordre il ne doit point y avoir de saut entre deux valeurs consécutives de et étant des nombres entiers positifs, pouvant être nul ; c’est-à-dire que la différentielle de cette quantité doit être infiniment petite par rapport à cette quantité elle-même. Cette condition est indispensable pour que l’équation différentielle proposée puisse subsister, parce que toute équation différentielle partielle suppose que les différentielles partielles de dont elle est formée, et divisées par les puissances respectives de et de sont des quantités finies et comparables entre elles ; mais rien n’oblige d’admettre la même condition relativement aux diffé-
