rences de de l’ordre ou d’un ordre supérieur. En prenant pour fonctions arbitraires les différences les plus élevées des fonctions arbitraires qui entrent dans l’intégrale d’une équation aux différences partielles, cette intégrale ne renfermera plus alors que des fonctions arbitraires et leurs intégrales successives qui sont continues, parce qu’en général l’intégrale est continue dans le cas même où la fonction ne l’est pas. La condition précédente se réduit donc à ce que la différence ième de chaque fonction arbitraire soit continue, c’est-à-dire que sa différentielle soit infiniment plus petite. Il ne doit donc point y avoir de saut entre deux tangentes consécutives de la courbe qui représente la fonction arbitraire de l’intégrale d’une équation aux différentielles partielles du second ordre ; ainsi, dans le problème des cordes vibrantes que nous venons de discuter, il est nécessaire et il suffit que deux éléments quelconques contigus de la figure initiale de la corde forment entre eux un angle infiniment peu différent de deux angles droits. Il ne doit point y avoir de saut entre deux rayons osculateurs consécutifs de la courbe qui représente la fonction arbitraire continue dans l’intégrale, si l’équation aux différences partielles est du troisième ordre, et ainsi de suite.
20. Il est souvent inutile de connaître la fonction génératrice d’une quantité donnée par une équation aux différences finies, ordinaires ou partielles, parce que, l’Analyse offrant divers moyens pour développer les fonctions en séries, on peut ainsi obtenir d’une manière fort simple la valeur de la quantité cherchée. Il résulte du no 5 que la quantité donnée par l’équation aux différences finies
est le coefficient de dans le développement de la fonction
