Cette formule cesserait d’être convergente, si la supposition de
rendait très petit le dénominateur de l’expression de
Supposons, par exemple, que
soit un facteur de ce dénominateur ; il est clair que les termes successifs de la formule (A) sont respectivement divisés par ![{\displaystyle (\theta -a)^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c38b6b574fc948686115b0d5d443c512c9ef0d)
et deviendront très considérables, si
est peu différent de
la convergence de cette formule exige donc que ![{\displaystyle (\theta -a)^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c38b6b574fc948686115b0d5d443c512c9ef0d)
soient plus grands que
elle ne peut conséquemment être employée dans l’intervalle où
est égal ou moindre que
mais, dans ce cas, on pourra faire usage de la méthode suivante.
23. Si l’on nomme
ce que devient
lorsqu’on y change
en
il est visible que
étant un facteur de
ou, ce qui revient au même, de
sera un facteur de
Soit donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}y=&\mathrm {Y} c^{-t^{\mu +1}},\\\upsilon =&{\frac {x-a}{(\log \mathrm {Y} -\log y)^{\frac {1}{\mu +1}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94ac66020da65a59a54d716bf0ad05918486e212)
on aura
![{\displaystyle x=a+\upsilon t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9ddc392fdc3717855953854e3f17288543294a9)
ne devenant point infini par la supposition
Si l’on désigne ensuite par
ce que deviennent
lorsqu’on y change
en
après les différentiations, on aura, par la formule
du no 21 du Livre II de la Mécanique céleste,
![{\displaystyle x=a+\mathrm {U} t+{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{1.2.dx}}t^{2}+{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.3.dx^{2}}}t^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e698690e9e7397f0fbdaa6b7b7493d278c01f8d7)
ce qui donne
(B)
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cette formule pourra être employée dans tout l’intervalle où
diffère très peu de
elle peut conséquemment servir de supplément à la for-