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LIVRE PREMIER.

mule (A) du numéro précédent ; mais, au lieu d’être ordonnée, comme elle, par rapport aux puissances de $\alpha ,$ elle ne l’est que par rapport aux puissances de $\alpha ^{\frac {1}{\mu +1}}\,;$ car il est visible que, dans ce dernier cas, $\upsilon$ n’est que de l’ordre $\alpha ^{\frac {1}{\mu +1}}.$

Pour déterminer plus facilement les quantités $\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}},\ldots ,$ supposons

$\log \mathrm {Y} -\log y=(x-a)^{\mu +1}\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right].$

Nous aurons, en changeant $x$ en $a$ après les différentiations,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {d^{\mu +1}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +1)dx^{\mu +1}}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {d^{\mu +2}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +2)dx^{\mu +2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Nous aurons ensuite, quel que soit $r,$

$\upsilon ^{r}=\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right]^{-{\frac {r}{\mu +1}}},$

d’où il est facile de conclure, en développant cette expression de $\upsilon ^{r}$ et nommant $\mathrm {Q} (x-a)^{r-1}$ le terme de ce développement qui a pour facteur $(x-a)^{r-1},$

${\frac {d^{r-1}\mathrm {U} ^{r}}{1.2.3\ldots (r-1)dx^{r-1}}}=\mathrm {Q} .$

La formule (B) ne présente plus ainsi d’autres difficultés que celles qui résultent de l’intégration des quantités de la forme $\int t^{n}dtc^{-t^{\mu +1}},$ et l’on a généralement

$\int t^{n}dtc^{-t^{\mu +1}}=-{\frac {c^{-t^{\mu +1}}}{\mu +1}}$

${\begin{aligned}&\times \left\{{\begin{aligned}t^{n-\mu }&+{\frac {n-\mu }{\mu +1}}t^{n-2\mu -1}+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)}{(\mu +1)^{2}}}t^{n-3\mu -2}+\ldots \\&+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)\ldots (n-r\mu +\mu -r+2)}{(\mu +1)^{r-1}}}t^{n-r\mu -r+1}\end{aligned}}\right\}\\&+{\frac {(n-\mu )(n-2\mu -1)\ldots (n-r\mu -r+1)}{(\mu +1)^{r}}}\int t^{n-r\mu -r}dtc^{-t^{\mu +1}},\end{aligned}}$

$r$ étant égal au quotient de la division de $n$ par $\mu +1,$ si la division est possible, ou au nombre immédiatement inférieur, si elle ne l’est pas.