95
LIVRE PREMIER.
la formule (B) du numéro précédent deviendra
![{\displaystyle \int ydx=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a5292034dec9101ee3dec534bb308eab4689b7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2k\quad \ \ \mathrm {Y} \left\{\mathrm {U} +{\frac {1}{2i}}{\frac {d^{2i}\mathrm {U} ^{2i+1}}{1.2.3\ldots 2idx^{2i}}}+{\frac {2i+1}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i}\mathrm {U} ^{4i+1}}{1.2.3\ldots 4idx^{4i}}}+\ldots \right\}\\\\+&2k^{(1)}\mathrm {Y} \ \ \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}&+{\frac {3}{2i}}{\frac {d^{2i+2}\mathrm {U} ^{2i+2}}{1.2.3\ldots (2i+2)dx^{2i+3}}}\\&+{\frac {3(2i+3)}{4i^{2}}}{\frac {d^{4i+2}\mathrm {U} ^{4i+3}}{1.2.3\ldots (4i+2)dx^{4i+2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&2k^{(i-1)}\mathrm {Y} \left\{{\begin{aligned}&{\frac {d^{2i-2}\mathrm {U} ^{2i-1}}{1.2.3(2i-2)dx^{2i-2}}}+{\frac {2i-1}{2i}}{\frac {d^{4i-2}\mathrm {U} ^{4i-1}}{1.2.3\ldots (4i-2)dx^{4i-2}}}\\&+{\frac {(2i-1)(4i-1)}{4i^{2}}}{\frac {d^{6i-2}\mathrm {U} ^{6i-1}}{1.2.3\ldots (6i-2)dx^{6i-2}}}+\ldots \end{aligned}}\right\}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71b870bd3d8a9266be6c4923af5167b612d6cc9)
Cette formule est la somme d’un nombre
de suites différentes, décroissantes comme les puissances de
puisque
est de l’ordre
et multipliées respectivement par les transcendantes
qu’il est, par conséquent, important de connaître ; mais il suffit pour cela d’en connaître un nombre égal au plus grand nombre entier compris dans ![{\displaystyle {\frac {i}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa6d9935e08e720ee6bb5e20fa8190dce02f2e1)
Considérons pour cela la double intégrale
![{\displaystyle \iint dsdxc^{-s\left(1+x^{n}\right)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d352ad197d10dd6e68ac74ea4f480cbf8a57af62)
les intégrales étant prises depuis
et
nuls jusqu’à leurs valeurs infinies. En l’intégrant d’abord par rapport à
elle se réduit à
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b41741d207f635008782aed710f5e7e0604dd8f)
mais cette dernière intégrale est
étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire ; on a donc
![{\displaystyle \iint dsdxc^{-s\left(1+x^{n}\right)}={\frac {\pi }{n\sin {\frac {\pi }{n}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e969c46d2a271280ee46200220f46eebb8c6f379)
Intégrons maintenant cette double intégrale, d’abord par rapport à
.