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La détermination de l’intégrale $\int ydx$ dépend donc des intégrales de cette forme

$\int dtc^{-t^{\mu +1}},\int tdtc^{-t^{\mu +1}},\ldots ,\int t^{\mu -1}dtc^{-t^{\mu +1}}.$

Il n’est pas possible d’obtenir exactement ces intégrales par les méthodes connues, mais il sera facile dans tous les cas d’avoir leurs valeurs approchées.

24. Nous aurons principalement besoin, dans la suite, de la valeur de $\int ydx,$ prise pour tout l’intervalle compris entre deux valeurs consécutives de $x$ qui rendent $y$ nul ; nous allons conséquemment exposer les simplifications dont cette valeur est alors susceptible. La variable ayant été supposée, dans le numéro précédent, égale à $\mathrm {Y} c^{-t^{\mu +1}},$ il est visible que les deux valeurs de $x$ qui rendent $y$ nul rendent également nulle la quantité $c^{-t^{\mu +1}},$ ce qui exige que $\mu +1$ soit un nombre pair, et que l’une des valeurs de $x$ réponde à $t=-\infty$ et l’autre à $t=\infty \,;\ \mathrm {Y}$ est donc alors le maximum de $y$ compris entre ces valeurs. Soit $\mu +1=2i\,;$ si l’on prend l’intégrale $\int t^{2n+1}dtc^{-t^{2i}}$ depuis $t=-infty$ jusqu’à $t=\infty ,$ sa valeur sera nulle ; car il est clair que les éléments de cette intégrale qui répondent aux valeurs négatives de $t$ sont égaux et de signe contraire à ceux qui répondent aux mêmes valeurs prises positivement. L’intégrale $\int t^{2n}dtc^{-t^{2i}}$ est égale à $2\int t^{2n}dtc^{-t^{2i}},$ cette dernière intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini, et dans ce cas, on a, par le numéro précédent,

$\int t^{2n}dtc^{-t^{2i}}=$

${\frac {(2n-2i+1)(2n-4i+1)\ldots (2n-2ri+1)}{(2i)^{r}}}\int t^{2n-2r}dtc^{-t^{2i}},$

$r$ étant égal au nombre entier du quotient de la division de $n$ par $i.$ Soit donc, en prenant les intégrales depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini,

${\begin{aligned}k=&\int dtc^{-t^{2i}},\\k^{(1)}=&\int t^{2}dtc^{-t^{2i}},\\k^{(2)}=&\int t^{4}dtc^{-t^{2i}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\k^{(i-4)}=&\int t^{2i-2}dtc^{-t^{2i}}\,;\end{aligned}}$