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LIVRE PREMIER.

26. On peut de là conclure les valeurs de quelques intégrales définies singulières auxquelles j’ai été conduit, comme on le verra dans la suite, par le passage du réel à l’imaginaire.

Considérons la double intégrale

$\iint 2dxydyc^{-y^{2}\left(1+x^{2}\right)}\cos rx,$

les intégrales étant prises depuis $x$ et $y$ nuls jusqu’à $x$ et $y$ infinis. En l’intégrant d’abord par rapport à $y,$ elle devient

$\int {\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}.$

Intégrons-la maintenant par rapport à $x$. On a, par le numéro précédent,

$\int dx\cos rxc^{-y^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2y}}c^{-{\frac {r^{2}}{4y^{2}}}},$

ce qui donne

$\iint 2ydydx\cos rx.c^{-y^{2}\left(1+x^{2}\right)}={\sqrt {\pi }}\int dyc^{-y^{2}-{\frac {r^{2}}{4y^{2}}}}.$

Il s’agit maintenant d’avoir cette dernière intégrale, prise depuis $y$ nul jusqu’à $y$ infini.

Pour cela, donnons-lui cette forme

$c^{r}\int dyc^{-\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}}\,;$

$r$ étant supposé positif, la quantité $\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}$ a un minimum qui répond à $y={\sqrt {\frac {r}{2}}},$ ce qui donne $2r$ pour ce minimum ; soit donc

$y={\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{2}}{\sqrt {z^{2}+2r}}\,;$

$y$ devant s’étendre depuis $y=0$ jusqu’à $y=s\infty ,\ z$ doit s’étendre depuis $z=-\infty$ jusqu’às $z=\infty .$ Cette valeur de $y$ donne

$dy={\frac {1}{2}}dz+{\frac {1}{2}}{\frac {zdz}{\sqrt {z^{2}+2r}}}.$