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le degré de la première étant supposé plus petit que celui de la seconde, et $\mathrm {N}$ étant supposé n’avoir aucun facteur réel du premier degré, on pourra, comme on sait, décomposer l’intégrale $\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx\cos rx$ en différents termes de la forme $(i)$ ; on aura donc généralement l’expression de cette intégrale définie.

On aura de la même manière la valeur de l’intégrale

$\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx\sin rx.$

27. Reprenons maintenant la formule (B) du n^o 23. Le cas de $\mu +1=2$ étant le plus ordinaire, nous allons exposer ici les formules qui y sont relatives. La formule (B) devient, dans ce cas,

$(b)\quad \int ydx=$

$\mathrm {Y} \int dtc^{-t^{2}}\left(\mathrm {U} +t{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+{\frac {t^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}}+{\frac {t^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{dx^{3}}}+\ldots \right)\,;$

ici l’on a

$t={\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}},\qquad \upsilon ={\frac {x-a}{\sqrt {\log \mathrm {Y} -\log y}}},$

$\mathrm {Y}$ étant le maximum de $y,$ et $a$ étant la valeur de $x$ qui correspond à ce maximum ; $\mathrm {U} ,{\frac {d\mathrm {U} }{dx}},\ldots$ sont ce que deviennent $\upsilon ,{\frac {d\upsilon }{dx}},$ lorsqu’on y change $x$ en $a.$ Cette formule donne, en l’intégrant depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} '.$

$(c)\quad \left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {Y} \left[\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3.4.dx^{4}}}+\ldots \right]\int dtc^{-t^{2}}\\&+{\frac {\mathrm {Y} }{2}}c^{-\mathrm {T} ^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+{\frac {\mathrm {T} d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {\left(\mathrm {T} ^{2}+1\right)\mathrm {d} ^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}+\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {Y} }{2}}c^{-\mathrm {T} '^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+{\frac {\mathrm {T} 'd^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2.dx^{2}}}+{\frac {\left(\mathrm {T} '^{2}+1\right)\mathrm {d} ^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3.dx^{3}}}+\ldots \right],\end{aligned}}\right.$

l’intégrale $\int dtc^{-t^{2}}$ étant prise depuis $t=\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} ',$ et l’intégrale $\int ydx$ étant prise depuis la valeur de $x$ qui convient à $t=\mathrm {T}$ jusqu’à celle qui convient à $t=\mathrm {T} '.$

Si l’on suppose $\mathrm {T} =-\infty$ et $\mathrm {T} '=\infty ,$ on aura généralement

$\mathrm {T} ^{n}c^{-\mathrm {T} ^{2}}=0,\qquad \mathrm {T} '^{n}c^{-\mathrm {T} '^{2}}=0.$