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LIVRE PREMIER.
cette intégrale devient, en supposant
![{\displaystyle \int {\frac {(a'+bx')dx'\left[\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)\cos rn+\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)\sin rn\right]}{1+x'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c28fe1feb484364fefd4e6e6626bcbe8d3543aec)
Cette intégrale doit être prise comme celle relative à
, depuis
jusqu’à
or l’intégrale
prise dans ces limites, est nulle, parce que ses éléments négatifs détruisent ses éléments positifs correspondants ; il en est de même de l’intégrale
la fonction intégrale précédente se réduit donc à
![{\displaystyle \int {\frac {\left[a'\cos rn\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)+b\sin rn\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)x'\right]dx'}{1+x'^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb81313653b636dc7bd4ab4c09940ce11f8d98b8)
On a, par ce qui précède,
![{\displaystyle \int {\frac {dx'\cos \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}}=\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/697f644b8fb93792c23f43143342cc1325d3d290)
En différenciant cette expression par rapport à
on a
![{\displaystyle \int {\frac {x'dx'\sin \left(rx'{\sqrt {m-n^{2}}}\right)}{1+x'^{2}}}=\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931edb394e888dad41f445ed0abc5f8b8fc3e849)
on a donc
![{\displaystyle \int {\frac {(a+bx)dx\cos rx}{m+2nx+x^{2}}}=(a'\cos rn+b\sin rn)\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f09620f6f3f06b2b11af4008f8d5649671950c)
On trouvera, par la même analyse,
![{\displaystyle \int {\frac {(a+bx)dx\sin rx}{m+2nx+x^{2}}}=(b\cos rn-a'\sin rn)\pi c^{-r{\sqrt {m-n^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f54ca38db6be0a95c23bccae42af005f69a525e)
Si l’on différentie la première de ces deux équations
fois par rapport à
et ensuite
fois par rapport à
on aura l’expression de l’intégrale
![{\displaystyle (i)\qquad \qquad \qquad \qquad \int {\frac {x^{2s}dx(a+bx)\cos rx}{(m+2nx+x^{2})^{i}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/584dcc7b59800205f700289f94fe9383910ec352)
Maintenant,
et
étant des fonctions rationnelles et entières de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)