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LIVRE PREMIER.

La première équation donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {A} c^{-x}\,;$

et la seconde donne, pour déterminer les deux limites de l’intégrale $\int x^{s}\varphi dx,$

$0=x^{s+1}c^{-x}\,;$

ces limites sont par conséquent $x=0$ et $x=\infty .$ Ainsi l’on a

$y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s}dxc^{-x},$

l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x$ infini, et $\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire.

Pour avoir cette intégrale en série, on déterminera, conformément à la méthode exposée dans le n^o 23, la valeur de $x$ qui rend $x^{s}c^{-x}$ un maximum ; cette valeur est $s.$ On fera donc, suivant la méthode citée.

$x^{s}c^{-x}=s^{s}c^{-s}c^{-t^{2}}.$

En supposant $x=s+\theta ,$ cette équation devient

$\left(1+{\frac {\theta }{s}}\right)^{s}c^{-\theta }=c^{-t^{2}}\,;$

partant,

$t^{2}=-s\log \left(1+{\frac {\theta }{s}}\right)+\theta ={\frac {\theta ^{2}}{2s}}-{\frac {\theta ^{3}}{3s^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{4s^{3}}}-\ldots ,$

ce qui donne, par le retour des suites.

$\theta =t{\sqrt {2s}}+{\frac {2}{3}}t^{2}+{\frac {t^{3}}{9{\sqrt {2s}}}}+\ldots \,;$

par conséquent,

$dx=d\theta =dt{\sqrt {2s}}\left(1+{\frac {4t}{3{\sqrt {2s}}}}+{\frac {t^{2}}{6s}}+\ldots \right).$

la fonction $\int x^{s}dxc^{-x}$ deviendra donc

$s^{s}c^{-s}\int dtc^{-t^{2}}{\sqrt {2s}}\left(1+{\frac {4t}{3{\sqrt {2s}}}}+{\frac {t^{2}}{6s}}+\ldots \right).$

L’intégrale relative à $x$ devant être prise depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini,