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l’intégrale relative à $t$ doit être prise depuis $t=-\infty$ jusqu’à $t=\infty .$ En intégrant comme dans le n^o 31, on aura

$y_{s}=\mathrm {A} s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12s}}+\ldots \right).$

On peut déterminer fort simplement le facteur $1+{\frac {1}{12s}}+\ldots$ de cette manière. Désignons-le par

$1+{\frac {\mathrm {B} }{s}}+{\frac {\mathrm {C} }{s^{2}}}+\ldots ,$

ce qui donne

$y_{s}=\mathrm {A} s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {\mathrm {B} }{s}}+{\frac {\mathrm {C} }{s^{2}}}+\ldots \right).$

En substituant cette valeur de $y_{s}$ dans l’équation proposée

$y_{s+1}=(s+1)y_{s},$

on aura

$\left(1+{\frac {1}{s}}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-1}\left[1+{\frac {\mathrm {B} }{s+1}}+{\frac {\mathrm {C} }{(s+1)^{2}}}+\ldots \right]=1+{\frac {\mathrm {B} }{s}}+{\frac {\mathrm {C} }{s^{2}}}+\ldots ,$

ou

$\left(1+{\frac {\mathrm {B} }{s}}+{\frac {\mathrm {C} }{s^{2}}}+\ldots \right)\left(c^{1-\left(s+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{s}}\right)}-1\right)=-{\frac {\mathrm {B} }{s^{2}}}+{\frac {\mathrm {B-2C} }{s^{3}}}-\ldots \,;$

or on a

${\begin{aligned}1-\left(s+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {1}{s}}\right)=&1-\left(s+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {1}{s}}-{\frac {1}{2s^{2}}}+{\frac {1}{3s^{3}}}-{\frac {1}{4s^{4}}}+\ldots \right)\\=&-{\frac {1}{12s^{2}}}+{\frac {1}{12s^{3}}}-\ldots \end{aligned}}$

On aura donc, en observant que $c^{-{\frac {1}{12s^{2}}}+\ldots }=1-{\frac {1}{12s}}+{\frac {1}{12}}s^{3}+\ldots ,$

$\left(1+{\frac {\mathrm {B} }{s}}+{\frac {\mathrm {C} }{s^{2}}}+\ldots \right)\left(-{\frac {1}{12s^{2}}}+{\frac {1}{12s^{3}}}-\ldots \right)=-{\frac {\mathrm {B} }{s^{2}}}+{\frac {\mathrm {B-2C} }{s^{3}}}-\ldots ,$

ce qui donne, en comparant les puissances semblables de ${\frac {1}{s}},$

$\mathrm {B} ={\frac {1}{12}},\qquad \mathrm {C} ={\frac {1}{288}},\qquad \ldots \,;$