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LIVRE PREMIER.

à laquelle il est élevé, le terme moyen du développement sera, lorsqu’il y en a un,

${\frac {n'^{s'}{\sqrt {3}}}{\sqrt {{\frac {n'^{2}-1}{2}}s'\pi }}},$

et, pour qu’il y ait un terme moyen, $(n'-1)s'$ doit être un nombre pair, c’est-à-dire que l’un ou l’autre au moins des nombres $n'-1$ et $s'$ doit être pair.

36. L’analyse précédente donne encore le coefficient de $a^{\pm l}$ dans le développement du polynôme

$\left(a^{-n}+a^{-n+1}+\ldots +a^{-1}+1+a+\ldots +a^{n-1}+a^{n}\right)^{s}.$

Pour l’obtenir, on observera que le coefficient de $a^{r}$ dans le développement de ce polynôme est le même que celui de $a^{-r}\,;$ en nommant donc $\mathrm {A} _{r}$ ce coefficient, en faisant $a=c^{\varpi {\sqrt {-1}}}$ et réunissant les deux termes du développement relatifs à $a^{r}$ et $a^{-r},$ on aura $2\mathrm {A} _{r}\cos r\varpi$ pour leur somme. Maintenant, si l’on multiplie ce polynôme ou sa valeur $\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}$ par $d\varpi \cos l\varpi ,$ et qu’on intègre le produit depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi ,$ il est clair que tous les termes disparaîtront, excepté celui où $r$ est égal à $l\,;$ l’intégrale se réduira donc à $2\mathrm {A} _{l}\int d\varpi \cos ^{2}l\varpi ,$ ce qui donne

$\mathrm {A} _{l}={\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \cos l\varpi \left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}.$

Pour intégrer cette fonction, on fera, comme ci-dessus,

$\left({\frac {\sin {\cfrac {2n+1}{2}}\varpi }{\sin {\cfrac {1}{2}}\varpi }}\right)^{s}=(2n+1)^{s}c^{-t^{2}}.$

En prenant les logarithmes et développant par rapport aux puissances de $\varpi ,$ on aura, par le retour des suites, pour $\varpi ,$ une expression de cette