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forme,

$\varpi ={\frac {t{\sqrt {6}}}{\sqrt {n(n+1)s}}}\left(1+\mathrm {A} t^{2}+\ldots \right),$

ce qui transforme l’intégrale précédente dans celle-ci

${\frac {(2n+1)^{s}}{\pi }}{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {n(n+1)s}}}\int dt\cos \left[{\frac {lt{\sqrt {6}}}{\sqrt {n(n+1)s}}}\right]c^{-t^{2}}\left(1+3\mathrm {A} t^{2}+\ldots \right),$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini. On peut facilement l’obtenir par le n^o 26, et l’on trouve, en n’ayant égard qu’à son premier terme, pour sa valeur,

${\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {n(n+1).2s\pi }}}c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}}.$

C’est la valeur cherchée du coefficient de $a^{\pm l}$ dans le développement du polynôme, lorsque sa puissance $s$ est très élevée.

Cherchons maintenant la somme de tous ces coefficients, depuis celui de $a^{-l}$ inclusivement, jusqu’à celui de $a^{l}$ inclusivement, $l$ étant un grand nombre, mais d’un ordre inférieur à $s$. Pour cela, nous observerons que l’on a, par le n^o 10,

${\begin{aligned}\Sigma y_{l}={\frac {1}{c^{\frac {dy_{l}}{dl}}-1}}=&{\frac {1}{{\cfrac {dy_{l}}{dl}}\left[1+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {dy_{l}}{dl}}+{\cfrac {1}{6}}\left({\cfrac {dy_{l}}{dl}}\right)^{2}+\ldots \right]}}\\\\=&\left({\frac {dy_{l}}{dl}}\right)^{-1}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy_{l}}{dl}}\right)^{0}+{\frac {1}{12}}{\frac {dy_{l}}{dl}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, par le numéro cité,

$\Sigma y_{l}=\int y_{l}dl-{\frac {1}{2}}y_{l}+{\frac {1}{12}}{\frac {dy_{l}}{dl}}+\ldots +$const.

En prenant l’intégrale depuis le terme correspondant à $l$ nul inclusivement, on aura la somme des valeurs de $y_{l},$ depuis cette origine jusqu’au terme $y_{l}$ exclusivement. La constante arbitraire sera égale alors à ${\frac {1}{2}}y_{0}-{\frac {1}{12}}{\frac {dy_{0}}{dl}}-\ldots \,;$ ainsi la somme des valeurs de $y_{l},$ depuis $l$ nul in-