d’où l’on tire, en intégrant,
![{\displaystyle vf={\frac {\mathrm {A} }{(1+x)^{i+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0414eb9b397837eec6cf69f2c0c5bcea1896410c)
étant une constante arbitraire. Ensuite on a
![{\displaystyle p^{s}=x^{s}vf(1+x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a62bf370d8dafae4948d2a7b06b67b72c64d20c)
ou
![{\displaystyle p^{s}={\frac {\mathrm {A} x^{s}}{(1+x)^{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30680f9ac865ec2426fca5dfad5c9274b594b93a)
d’où l’on tire
![{\displaystyle x=p,\qquad \mathrm {A} =(1+p)^{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4f3550ab03140c0b326588ec9eef491f5f17db)
en sorte que
![{\displaystyle y_{s}=(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98214f32e302a6169619ff5c9ee5c5f4291b0df3)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
En ajoutant à cette valeur de
celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {B} (1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ed5f289ea48dc69c96c2ca2764c2a8762222ad)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
infini, et
étant une arbitraire ; on aura pour l’intégrale complète de la proposée
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {B} \int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}+(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f0eea8e832d26f01914a714c2f65bef9f5a3a36)
expression que l’on peut mettre sous cette forme
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {B} '\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}}-(1+p)^{i}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{i+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81505dc6d8187882082cc49b4d442d1444d5caa0)
la première intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
infini, et la seconde étant prise depuis
jusqu’à
infini.
Maintenant l’intégrale de la proposée
![{\displaystyle p^{s}=sy_{s}+(s-i)y_{s+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1285d3ce681b780bae9e1ebc46986f8f42e0f6)
est
![{\displaystyle y_{s}={\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f579a89906809f1a5cb6286a3235119a13fe2e8)
![{\displaystyle \times \left[\mathrm {Q} -\sum {\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/229ca16a44b03614683c88fd1eb844ea8178e676)