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LIVRE PREMIER.

clusivement jusqu’à $y_{l}$ inclusivement, sera

$\int y_{l}dl+{\frac {1}{2}}y_{0}+{\frac {1}{2}}y_{l}+{\frac {1}{12}}{\frac {dy_{l}}{dl}}-{\frac {1}{12}}{\frac {dy_{0}}{dl}}+\ldots .$

Supposons maintenant

$y_{l}={\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {3}}}{\sqrt {n(n+1)2s\pi }}}c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}}\,;$

alors les différences de $y_{l}$ seront successivement d’un ordre inférieur les unes aux autres ; en ne considérant donc que les trois premiers termes de la série précédente, on aura

$\int y_{l}dl+{\frac {1}{2}}y_{0}+{\frac {1}{2}}y_{l}$

pour la somme des coefficients des termes du développement de la puissance $s$ du polynôme, depuis $l$ nul inclusivement jusqu’à $y_{l}$ inclusivement. En doublant cette somme, et en retranchant de ce double le terme $y_{0},$ on aura pour la somme des coefficients, depuis celui du terme correspondant à $a^{-l}$ inclusivement, jusqu’à celui du terme correspondant à $a^{l}$ inclusivement.

${\frac {(2n+1)^{s}{\sqrt {6}}}{\sqrt {n(n+1)s\pi }}}\left(\int dlc^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}}+{\frac {1}{2}}c^{-{\frac {{\frac {3}{2}}l^{2}}{n(n+1)s}}}\right).$

37. Nous avons supposé dans les exemples précédents que les équations aux différences en $y_{s}$ n’avaient point de dernier terme ; donnons un exemple d’une équation jouissant d’un dernier terme, et pour cela considérons l’équation aux différences

$p^{s}=sy_{s}+(s-i)y_{s+1}.$

En faisant

$y_{s}=\int x^{s-1}\varphi dx,$

on aura

$p^{s}=x^{s}\varphi (1+x)-\int x^{s}\left[(x+1)d\varphi +(i+1)\varphi dx\right],$

ce qui donne d’abord, pour déterminer $\varphi ,$ l’équation

$(1+x)d\varphi +(i+1)\varphi dx=0,$