155
LIVRE PREMIER.
son développement en série, on aura, en prenant les différences logarithmiques,
![{\displaystyle {\frac {\mu (b+2ct+\ldots )}{a+bt+ct^{2}+\ldots }}={\frac {y_{1}+2y_{2}t+\ldots +sy_{s}t^{s-1}+\ldots }{y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{s}t^{s}+\ldots }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c93e657bf3efd9eab687f0b3bf8be804011eba6a)
Multipliant en croix et comparant les termes multipliés par
on aura
![{\displaystyle asy_{s}+b(s-1)y_{s-1}+c(s-2)y_{s-2}+\ldots =\mu by_{s-1}+2\mu cy_{s-2}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e295e73cb50641247b5b276aad84cfcf6641499)
Représentons par
l’expression de
cette équation devient
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&x^{s}\left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)\varphi \\&-\int x^{s}[d\varphi \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)+\mu \varphi dx\left({\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {2c}{x^{3}}}+\ldots \right)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1718dfa803b0ea9c181927013410d5c7e8266199)
En égalant séparément à zéro la partie de cette équation affectée du signe intégral, on a
![{\displaystyle 0=d\varphi \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)+\mu \varphi dx\left({\frac {b}{x^{2}}}+{\frac {2c}{x^{3}}}+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a4a2a6cd089ea93c06aa966bee85ba1b6fd0f6)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle \varphi =\mathrm {A} \left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f54c72a653b680076132794f2079e99d4eb08d79)
étant une constante arbitraire. La partie de l’équation précédente hors du signe intégral donnera ensuite, pour déterminer les limites de l’intégrale.
![{\displaystyle 0=x^{s}\left(a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots \right)^{\mu +1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/785f511967ed1149040f5c98a68c3f1275aa88ad)
ces limites sont donc
et
égal aux diverses racines de l’équation
![{\displaystyle 0=a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee93bab858d0770c8ecfb2631af37caf6c5f2a2)
On aura donc, par les méthodes précédentes et par une approximation