très prompte, les coefficients des puissances très élevées de
dans le développement en série de la puissance
![{\displaystyle (a+bt+ct^{2}+\ldots )^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff52acbf5e60b1cd22de59d61df6917e3f20b6c1)
et par conséquent on aura les différentielles très élevées de la puissance
![{\displaystyle (a'+b'z+c'z^{2}+\ldots )^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45e59f51b40790216de67f72b68c3c45a7fdc64a)
qui se change dans la précédente en changeant
dans
et faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}a=&a'+b'z+c'z^{2}+\ldots ,\\b=&b'+2c'z+\ldots ,\\c=&c'+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2ec5e2e514ec15799e926dd6f4414820868ba6)
Appliquons cette analyse à un exemple.
étant le sinus d’un angle
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}={\frac {d^{s}}{dz^{s}}}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/375bfe3b4824fc7918ae7184ae8f278b67524b72)
Pour avoir l’expression du second membre de cette équation, nous observerons que l’on a, par ce qu’on vient de voir,
![{\displaystyle {\frac {d^{s}}{dz^{s}}}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}=1.2.3\ldots s.y_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e309b754ae352ce0723a38c5fa4ef538252850ff)
étant le coefficient de
dans le développement de
On aura ensuite
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee94275deeb06e377a665f29d640150547fb6eb)
les limites de l’intégrale étant données par l’équation
![{\displaystyle x^{s}\left[1-\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/226f9b8ceeb35795be9c5a930e593acb2320d7be)
Ces limites sont
![{\displaystyle x=-{\frac {1}{1+z}},\qquad x=0,\qquad x={\frac {1}{1-z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a4c94adcc7be89d0f6af08e4f85b2961f25f57)