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LIVRE PREMIER.
En changeant
dans
on aura
![{\displaystyle \int d\varpi (\cos \varpi -z)^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284d4f81886346fdf1099df02d11e6e04a6a9aa0)
partant
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}y_{s}&={\frac {1}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right]\\&+{\frac {(-1)^{s}}{(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}\left[1-{\frac {\alpha (2+z)}{8}}+\ldots \right]\,;\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dba0844fbe63a4e9c756f53f4dc13124aec80a6)
dans le cas de
très grand, cette expression se réduit à fort peu près à ce terme très simple,
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2s\pi }}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ada3208d48181ce3743a87ef86b632a579aaf075)
Si l’on multiplie l’expression
de
par le produit
produit qui, par le no 33, est égal à
![{\displaystyle s^{s+{\frac {1}{2}}}c^{-s}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {\alpha }{12}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75da1649c8288433313ebd8202599b801cff8697)
on aura à très peu près
![{\displaystyle {\frac {d^{s+1}\theta }{dz^{s+1}}}={\frac {d^{s}{\cfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}{dz^{s}}}={\frac {s^{s}c^{-s}}{(1-z)^{s+{\frac {1}{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93334036bc35386daebc064ac8ce178987cd63a7)
39. Lorsqu’une fonction
de
peut être exprimée par une intégrale définie de la forme
les différences infiniment petites et finies d’un ordre quelconque
seront, par le no 21,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&\int x^{s}\varphi dx(\log x)^{n},\\\Delta ^{n}y_{s}=&\int x^{s}\varphi dx(sx-1)^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33400a28c1d30861f859cb1b05437d8be4450efc)
Si, au lieu d’exprimer la fonction de
par l’intégrale
on l’exprime par l’intégrale
alors on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}y_{s}}{ds^{n}}}=&(-1)^{n}\int x^{n}\varphi dxc^{-sx},\\\Delta ^{n}y_{s}=&\int \varphi dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7054a686de47ea03ff836be5982447c3e421621)