on aura
![{\displaystyle (a)\qquad y_{s}={\frac {1}{\left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d904f90aaf2a73e49b90017b0384e866c5a5d5a)
![{\displaystyle \times \left\{{\begin{aligned}z^{s}&+{\frac {1}{2}}{\frac {s(s-1)}{1.2}}z^{s-2}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)}{1.2.3.4}}z^{s-4}\\&+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)(s-5)}{1.2.3.4.5.6}}z^{s-6}+\ldots \end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65c3deb637a3e24c617f03f42991051ab22e698d)
Cette expression est fort composée, lorsque
est un grand nombre ; mais alors on peut obtenir sa valeur d’une manière fort approchée, en appliquant à l’expression de
sous forme d’intégrale définie, les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégral ayant deux maxima, l’un à l’origine de l’intégrale et l’autre à son extrémité, nous la décomposerons dans les deux suivantes
![{\displaystyle y_{s}={\frac {1}{\pi \left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}\left[\int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}+(-1)^{s}\int d\varpi (\cos \varpi -z)^{s}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52468e6f0dbc7284f321e68716ddf679f6a7141)
la première intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
égal à l’angle dont le cosinus est
et la seconde intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
égal à l’angle dont
est le cosinus. Soit
et faisons
![{\displaystyle (z+\cos \varpi )^{s}=(1+z)^{s}c^{-t^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef16748acd1373ab927061558b33ad7c14281a62)
on aura, en prenant les logarithmes et réduisant
en série,
![{\displaystyle \log \left[1-{\frac {\varpi ^{2}}{2(1+z)}}+{\frac {\varpi ^{4}}{24(1+z)}}-\ldots \right]=-\alpha t^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef52ca389d2403145b13047c033843f2ae0257ba)
d’où il est facile de conclure
![{\displaystyle \varpi =\alpha ^{\frac {1}{2}}t{\sqrt {2(1+z)}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{12}}t^{2}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e909dc39d0be9aaf1acf9becc00fd8f186a1d7d5)
on aura ainsi, en observant que l’intégrale doit être prise depuis
nul jusqu’à
infini,
![{\displaystyle \int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e85674813f67b1f4b0e8b598088e37749077580)