les intégrales étant prises depuis
et
nuls jusqu’à
et
infinis ; on aura donc
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)}{x^{i+1}}}={\frac {(-1)^{r+1}\int {\cfrac {dx'c^{-x'}}{x'^{\frac {m}{n}}}}\Delta ^{n}s^{i}}{{\cfrac {m}{n}}\left(1+{\cfrac {m}{n}}\right)\left(2+{\cfrac {m}{n}}\right)\ldots i}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb57861c25c336efd53361a2fddcdba06a0c493)
En substituant pour
sa valeur
et observant que l’on a, par ce qui précède,
![{\displaystyle {\frac {n}{m}}\int x'^{-{\frac {m}{n}}}dx'c^{-x'}\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}={\frac {\pi }{\sin {\cfrac {m}{n}}\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d84a33d1433b5b36a470eb53d9850ace26165b9)
on aura la formule ![{\displaystyle (\mu ''').}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0894f0fb9d83191b50dd8c68cd323bdd4364bb4d)
Si
est un très grand nombre, on aura, par le no 33, l’intégrale
![{\displaystyle \int x^{i}dxc^{-x}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52335dc52b791734cc7223f4771afca83f707c2)
on aura ensuite, par ce qui précède, l’intégrale
![{\displaystyle \int {\cfrac {dxc^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}}{x^{i+1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16fb3f73c585a0e1a931f3d54287bd57439c668e)
ainsi l’on obtiendra, par une série très convergente, la valeur du second membre de la formule citée.
Supposons
infiniment petit,
sera nul, et
sera une fraction infiniment petite ; on aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {m}{n}}\pi ={\frac {m}{n}}\pi =i\pi \\&\Delta ^{n}\left({\frac {s^{i}-1}{i}}\right)=\Delta ^{n}\log s.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5064ffcf59ac469e87136bbc5c5355969f89384a)
La formule
donnera ainsi
![{\displaystyle \Delta ^{n}\log s=-\int {\frac {c^{-sx}dx}{x}}\left(c^{-x}-1\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f3804fa7e6553ba17b8d03bb3f3e3652b11a91f)
expression que l’on réduira facilement en série convergente, lorsque
est un grand nombre.