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LIVRE PREMIER.
42. On a souvent besoin, dans l’analyse des hasards, de ne considérer dans l’expression de
que la partie dans laquelle les quantités élevées à la puissance
sont positives. Nous allons déterminer la somme de tous ces termes. Pour cela, reprenons la formule
du numéro précédent. Si l’on y substitue au lieu de
sa valeur
![{\displaystyle (s+n)^{i}-n(s+n-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s+n-2)^{i}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61504fd373e03b9aa6a7fd7e640c03a4329b672e)
et si l’on y change ensuite
dans
on aura, en ne continuant les deux séries du premier membre de l’équation suivante que jusqu’aux termes dans lesquels la quantité élevée à la puissance
devient négative, et observant que le signe
a lieu si
est pair et le signe
si
est impair.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1)^{i}&\left[(n-s)^{i}-n(n-s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-s-2)^{i}-\ldots \right]\\&\pm (-1)^{i}\left[s^{i}-n(s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-2)^{i}-\ldots \right]\\&={\frac {(-1)^{r+1}}{\pi }}\sin {\frac {m\pi }{n}}\int x^{i}dxc^{-x}\int {\frac {dx}{x^{i+1}}}c^{sx}\left(c^{-x}-1\right)^{n}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbf541e3ceba4c5f79ba5fc08ea4dbd5ad06f53)
Si l’on change dans la dernière intégrale
en
elle devient, après toutes les réductions,
![{\displaystyle 2^{n-i}(-1)^{\frac {n+i}{2}}\int x'^{n-i-1}dx'\left[\cos(2s-n)x'-{\sqrt {-1}}\sin(2s-n)x'\right]\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba4e3ecdcb8619a02890718bfd07bb5330d17c94)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
nul jusqu’à
infini. On aura donc
![{\displaystyle (o)\left\{{\begin{aligned}&(1)^{i}\left[(n-s)^{i}-n(n-s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-s-2)^{i}-\ldots \right]\\&\pm (-1)^{i}\left[s^{i}-n(s-1)^{i}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(s-2)^{i}-\ldots \right]\\&={\frac {(-1)^{r+1}}{\pi }}2^{n-i}(-1)^{\frac {n+i}{2}}\sin {\frac {m\pi }{n}}\int xdxc^{-x}\\&\times \int x'^{n-i-1}dx'\left[\cos(2s-n)x'-{\sqrt {-1}}\sin(2s-n)x'\right]\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}.\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93dd7efe6dd27d0fb11d2c33ef4c78f244ce8dfb)