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On déterminera la constante arbitraire $\mathrm {C}$ en faisant commencer avec $r$ l’intégrale $\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$ et en observant qu’alors, $r$ étant nul, le dernier membre de l’équation se réduit à cette constante. Dans ce cas, le premier devient

$n^{n}-n(n-2)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n}-\ldots .$

Mais on a, comme on sait, sans l’exclusion des puissances des quantités négatives,

$n^{n}-n(n-2)^{n}+\ldots \mp n(2-n)^{n}\pm (-n)^{n}=1.2.3\ldots n.2^{n},$

le signe supérieur ayant lieu si $n$ est pair, et le signe inférieur si $n$ est impair. Dans les deux cas, on voit que la somme des termes dans lesquels les quantités élevées à la puissance $n$ sont négatives est égale à la somme des autres termes ; on a donc, avec l’exclusion des puissances des quantités négatives,

$n^{n}-n(n-2)^{n}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n}-\ldots =1.2.3\ldots n.2^{n-1},$

ce qui donne $\mathrm {C} ={\frac {1}{2}}\,;$ par conséquent,

${\frac {\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n}+{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n}-\ldots }{1.2.3\ldots n.2^{n}}}$

$={\frac {1}{2}}+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\left[\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}-{\frac {3}{20n}}r\left(1-r^{2}\right)c^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+\ldots \right].$

En intégrant de nouveau cette expression et déterminant convenablement la constante arbitraire, on trouve

${\frac {\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n+1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n+1}+{\cfrac {n(n-1)}{1.2}}\left(n+r{\sqrt {n}}-4\right)^{n+1}-\ldots }{1.2.3\ldots (n+1).2^{n}{\sqrt {n}}}}$

$={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\left\{r\int drc^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{60n}}\left(1-3r^{2}\right)\right]+\ldots \right\}+{\frac {1}{2}}r.$

43. On peut étendre les méthodes précédentes à la détermination de